在您提到的“抵押后出租且付房租，是否可以继续合同”的问题上，这确实是一个涉及法律权益和合同条款的复杂情况。以下是我为您详细分析的解答：

首先，我们需要明确的是，“买卖不破租赁”这一法律原则在类似情境中起着关键作用。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，即使租赁物（在这里是房屋）的所有权发生变动，比如因为抵押权实现而被转让，原租赁合同在承租人按照合同占有的期限内仍然有效。这一原则为承租人提供了一定程度的法律保护。

然而，具体到您的情况，房屋抵押与租赁的先后顺序是决定您能否继续承租的关键因素：

1. 如果房屋是先租赁后抵押：

   • 在这种情况下，即使后续因为抵押权人行使抵押权导致房屋所有权转移，您作为承租人仍然可以按照原租赁合同继续使用房屋，直至租赁期限届满。这是因为您的租赁权在先，受到了法律的保护。

2. 如果房屋是先抵押后租赁：

   • 如果抵押权设立在先，而您的租赁权设立在后，那么当抵押权人实现抵押权导致房屋所有权转移时，新的房屋所有人有权选择解除原租赁合同。这意味着您可能无法继续承租该房屋。但值得注意的是，如果抵押权人在实现抵押权时未告知受让人房屋已租赁的情况，导致您的权益受损，您有权要求抵押权人承担相应的赔偿责任。

此外，出租人的告知义务也是非常重要的。出租人在将已抵押的房屋出租给您时，有义务告知房屋抵押的情况。如果出租人未履行这一告知义务，并且在租赁期间因抵押权实现导致您需要搬离，出租人可能需要承担违约责任。

特殊情况的处理：

• 如果您和出租人在签订租赁合同时已经明确告知了房屋抵押的情况，并且双方在合同中对此有明确的约定，那么您应根据合同的约定来行使自己的权利。
• 如果租赁合同本身存在问题（如无效、可撤销等），或者抵押权人在实现抵押权时提出了合理的异议，也可能影响您继续承租的权益。

结论与建议： 综上所述，您能否继续承租被抵押的房屋，主要取决于房屋抵押与租赁的先后顺序、租赁合同的具体内容以及相关法律法规的规定。因此，我建议您在签订租赁合同时应仔细审查房屋状况，了解是否存在抵押情况，并在合同中明确相关条款以保护自己的权益。如果遇到问题或纠纷，及时咨询专业律师以获取具体的法律建议和帮助是非常重要的。

希望这个解答能够帮助您更好地理解这个问题，并为您的决策提供参考。如果您还有其他疑问或需要进一步的帮助，请随时告诉我。