核心结论：合同到期后的处理需分情况讨论，关键在于代签行为是否构成表见代理、家人是否继承相关权利义务，以及合同本身的法律效力。以下是具体分析：
1. 若代签行为构成表见代理，合同对房东有效
- 法律依据：根据《民法典》第172条，行为人没有代理权、超越代理权或代理权终止后，仍实施代理行为，相对人有理由相信其有代理权的，代理行为有效。
- 适用场景：若家人代签时，房东曾授权家人处理房屋事务（如口头授权、过往代签记录），或房东长期未提出异议，租客有合理理由相信家人有代理权，则合同对房东直接生效。
- 处理方式：合同到期后，房东需按原合同约定处理（如退还押金、验收房屋）。若房东拒绝履行，租客可凭合同、代签证据（如聊天记录、证人证言）起诉，要求房东继续履行或赔偿损失。
2. 若代签行为不构成表见代理，合同效力待定
- 法律依据：根据《民法典》第171条，行为人没有代理权实施的代理行为，未经被代理人追认的，对被代理人不发生效力。
- 适用场景：若家人代签时，房东明确反对或租客明知家人无代理权（如房东已声明“房屋事务需本人签字”），则合同对房东无效。
- 处理方式：
- 合同到期前：租客应立即联系房东，要求房东确认是否继续履行合同（如重新签订合同或补签授权书）。若房东拒绝，租客需按实际占用天数支付租金，并尽快搬离。
- 合同到期后：若房东未追认合同，且租客未搬离，房东可要求租客支付逾期占用费（通常按原租金标准计算），并可能通过诉讼强制腾房。
3. 代签人死亡不影响合同效力，但可能涉及继承问题
- 关键点：代签人死亡本身不导致合同无效或终止，但若代签人曾以自己名义与租客签订合同（如误将房屋当作自己所有），则可能涉及继承人对合同权利义务的继承。
- 适用场景：若代签人死亡后，其继承人继承了房屋（如通过遗嘱或法定继承），则继承人需继续履行原合同（如退还押金）。若继承人未继承房屋，则无需承担合同义务。
- 处理方式：租客可要求房东或继承人提供继承证明（如遗嘱、公证书），明确合同权利义务的承担主体。
行动建议
- 收集证据：保存合同、代签证据（如授权书、聊天记录）、租金支付记录、房屋现状照片等，以证明合同履行情况。
- 联系房东：通过书面形式（如短信、邮件）要求房东确认合同效力或协商后续处理方案，保留沟通记录。
- 协商或诉讼：若房东拒绝履行合同，可先尝试协商；协商无果的，可向法院起诉，要求房东承担违约责任或赔偿损失。
提示：房屋租赁纠纷涉及法律关系复杂，建议根据具体情况进一步分析。若有疑问，可直接向我咨询，我会结合您的证据和当地司法实践，提供更具体的解决方案。