法院通知私生子做亲子鉴定是合法的，但需满足一定条件并遵循法定程序。以下从多个角度为你详细分析：

一、法律依据与合法性基础

1. 《中华人民共和国民法典》第一千零七十三条
   该条款明确规定，对亲子关系有异议且有正当理由的，父、母或成年子女可以向人民法院提起诉讼，请求确认或否认亲子关系。这意味着，若涉及私生子的亲子关系争议，法院有权根据当事人的申请启动鉴定程序。

2. 司法解释的补充规定
   根据《最高人民法院关于适用〈中华人民共和国民法典〉婚姻家庭编的解释（一）》第三十九条，若一方提供必要证据请求否认或确认亲子关系，而另一方无相反证据又拒绝做亲子鉴定的，法院可认定主张成立。这一规定为法院通知私生子做亲子鉴定提供了直接法律依据。

二、法院通知亲子鉴定的条件与程序

1. 存在亲子关系争议
   法院不会随意通知私生子做亲子鉴定，必须是在当事人对亲子关系存在异议（如否认或确认亲子关系）且有正当理由（如涉及继承权、抚养费等法律权益）时，才会启动鉴定程序。

2. 当事人申请或法院依职权启动
   亲子鉴定通常由当事人向法院提出申请，法院审查后认为符合条件的，会通知相关当事人参与鉴定。在特定情况下（如涉及公共利益或未成年人权益保护），法院也可能依职权主动启动鉴定程序。

3. 遵循法定程序与保障当事人权利
   法院通知私生子做亲子鉴定时，会确保鉴定过程合法合规，包括选择具有法律资质的鉴定机构、保障当事人的知情权与同意权（尤其是未成年人的监护人同意）、保护当事人隐私等。若当事人拒绝鉴定，法院会根据司法解释的规定进行推定。

三、亲子鉴定的法律效力与应用场景

1. 法律效力
   亲子鉴定结果具有法律效力，但前提是鉴定过程必须遵循法律程序，并由具有法律资质的鉴定机构进行。若鉴定程序违法或鉴定机构无资质，结果可能不被法院采信。

2. 应用场景
   亲子鉴定在私生子案件中常用于解决继承权、抚养费、监护权等争议。例如，根据《中华人民共和国民法典》第一千一百二十七条，非婚生子女享有与婚生子女同等的继承权。通过亲子鉴定证明亲缘关系后，私生子有权作为第一顺序继承人继承财产。

四、注意事项与建议

1. 谨慎处理隐私与伦理问题
   亲子鉴定涉及当事人隐私与伦理问题，需谨慎处理。尤其是对未成年人进行鉴定时，应充分尊重其意愿并保护其权益。

2. 选择正规鉴定机构
   为确保鉴定结果的准确性与法律效力，应选择具有法律资质的正规鉴定机构进行鉴定。避免单方面鉴定或未经批准的民间机构鉴定，以免结果在法律上不被认可。

3. 咨询专业律师
   若涉及亲子鉴定争议，建议及时咨询专业律师（如我），了解相关法律程序与注意事项，确保自身权益得到充分保障。

总结：法院通知私生子做亲子鉴定是合法的，但需满足存在亲子关系争议、当事人申请或法院依职权启动、遵循法定程序等条件。若你或身边的人遇到此类问题，可直接向我咨询，我会为你提供专业、全面的法律帮助。