在处理斗殴双方的问题时，公安机关会依据相关法律法规，采取一系列严谨且全面的措施来确保公正、合法地解决纠纷。以下是对这一处理流程的详细阐述：

一、现场处置与紧急措施

1. 制止斗殴：公安机关在接到斗殴报警后，会迅速出警并立即制止正在进行的斗殴行为，这是首要任务，以防止事态进一步扩大和人员伤亡。

2. 控制现场与涉案人员：警方会迅速控制现场，防止无关人员进入，并同时控制参与斗殴的人员，确保他们无法逃离或继续冲突。

3. 救治伤员：如有伤员，公安机关会第一时间联系医疗急救部门进行救治，确保伤者的生命健康得到及时保障。

4. 勘查现场与收集证据：警方会对现场进行勘查，收集斗殴工具、痕迹等物证，并询问目击证人，收集照片、录像等视听资料，为后续处理提供事实依据。

二、详细调查与责任认定

1. 询问当事人：警方会分别对斗殴双方当事人进行详细询问，了解事件的起因、经过、双方的动机和具体行为等，以全面掌握情况。

2. 伤情鉴定：对于受伤的当事人，警方会安排专业的医疗机构或鉴定机构进行伤情鉴定，这是认定责任和后续处理的重要依据。

3. 责任认定：根据调查结果和伤情鉴定，警方会认定双方在事件中的过错程度和责任，为后续处理提供法律基础。

三、根据案件性质进行处理

1. 情节较轻的治安案件：

   • 调解处理：若因民间纠纷引起，且伤害较轻，双方主观恶性小、社会影响不大，警方可主持双方进行调解，达成协议的不予处罚。
   • 治安处罚：若调解不成或协议不履行，警方会依据《治安管理处罚法》对违反者进行处罚，如拘留、罚款等。

2. 涉嫌刑事犯罪的案件：

   • 立案侦查：若斗殴行为造成严重后果，如重伤、聚众斗殴等，达到刑事立案标准，警方会立案侦查，全面收集证据材料。
   • 移送审查起诉：侦查完毕后，若认为犯罪事实清楚、证据确实充分，警方会移送人民检察院审查起诉，由法院依法审理并判处相应刑罚。

四、后续处理与教育

1. 治安案件后续：处理完毕后，警方会对双方当事人进行教育，告诫他们通过合法方式解决纠纷，避免再次发生斗殴。

2. 刑事案件后续：判决生效后，除执行刑罚外，警方还会对罪犯进行改造和教育，并对社会进行法制宣传，预防类似犯罪行为。

五、民事赔偿权利告知

对于因斗殴造成的损害，受害者有权向法院提起民事诉讼，要求施害者赔偿。公安机关在处理过程中会告知当事人这一权利，并引导其通过合法途径维权。

总结与建议：斗殴是违法行为，不仅可能面临刑事处罚和治安处罚，还需承担民事赔偿责任。因此，建议公众在遇到纠纷时保持冷静，通过和平、合法的方式解决问题。若发生斗殴事件，应积极配合警方调查，并寻求合法途径解决争议，以避免不必要的法律后果和经济损失。