结论：在开车致使对方一级轻伤的情况下，选择私下和解还是面临刑事拘留，并非一个简单的二选一问题，而是需要根据具体案情、法律规定以及双方当事人的意愿来综合判断。以下是从不同角度对此问题的详细分析：
一、法律角度
刑事责任：
- 根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，交通肇事罪通常要求造成较为严重的后果，如重伤、死亡或重大财产损失。一级轻伤虽然严重，但一般不构成交通肇事罪的入罪标准，除非存在其他恶劣情节（如逃逸、酒驾等）。
- 若不构成交通肇事罪，则行为人通常不会面临刑事拘留，但可能面临行政处罚，如罚款、吊销驾驶证等。
民事责任：
- 无论是否构成刑事犯罪，行为人都需承担民事赔偿责任，包括医疗费、误工费、护理费等因伤害产生的合理费用。
- 私下和解通常是在双方自愿的基础上，就民事赔偿部分达成协议，从而避免进一步的法律纠纷。
二、私下和解的角度
优点：
- 快速解决：私下和解可以迅速解决纠纷，避免长时间的诉讼过程。
- 减少成本：相比诉讼，私下和解通常能节省大量的时间、精力和金钱。
- 维护关系：对于双方当事人而言，私下和解有助于维护或修复因事故而受损的关系。
注意事项：
- 确保协议合法有效：私下和解协议应明确、具体，且符合法律规定，以确保其法律效力。
- 考虑未来风险：在和解时，应充分考虑未来可能出现的风险，如伤情恶化等，并在协议中作出相应安排。
三、面临刑事拘留（或行政处罚）的角度
可能情况：
- 如前所述，若行为构成交通肇事罪或其他犯罪，则可能面临刑事拘留。
- 即使不构成犯罪，也可能因违反交通法规而面临行政处罚。
应对策略：
- 积极配合调查：在面临调查时，应积极配合警方的工作，如实陈述事实。
- 寻求法律帮助：及时咨询专业律师，了解自己的权利和义务，以及可能的法律后果。
- 考虑和解可能性：在了解法律后果后，可以与对方当事人协商和解，以减轻或避免处罚。
四、综合建议
- 评估案情：首先，应全面评估案情，包括伤情、事故责任、是否存在恶劣情节等。
- 咨询律师：在了解案情后，及时咨询专业律师，获取具体的法律建议。
- 考虑和解：如果双方都有和解的意愿，且和解条件合理，那么私下和解可能是一个更好的选择。
- 准备应对：如果和解不可行或对方不同意和解，那么应做好应对刑事或行政处罚的准备。
最后，每个案件都有其独特性，因此在做出决定前，务必充分了解案情和法律规定，并咨询专业律师的意见。如果你有任何具体的法律问题或需要进一步的帮助，请直接向我咨询。