结论：公司背调是否可以写私人号码，需分情况讨论，具体如下：

1. 若私人号码为候选人主动提供
   根据《个人信息保护法》第十三条，处理个人信息需取得个人同意。若候选人在求职申请表、授权书等文件中明确同意公司提供其私人号码用于背调，且背调范围与求职岗位相关（如核实工作经历、教育背景等），则公司使用私人号码属于合法处理行为。但需注意：

   • 授权书应单独列明背调事项，避免“一揽子授权”；
     
   • 背调内容应限于必要范围，不得过度收集（如询问婚姻状况、健康信息等无关内容）。

2. 若私人号码为候选人未主动提供，但公司通过其他渠道获取
   若公司未经候选人同意，通过第三方渠道（如前雇主、社交平台等）获取私人号码并用于背调，可能涉嫌侵犯个人信息权益。根据《民法典》第一千零三十三条，除法律另有规定或权利人明确同意外，任何组织或个人不得以电话、短信等方式侵扰他人私人生活安宁。此时候选人可要求公司停止侵害、赔偿损失。

3. 特殊情形：紧急联系或公共利益
   若背调涉及公共安全、国家利益（如应聘涉及国家秘密的岗位），或为保护候选人生命健康等紧急情况，公司可能依据《个人信息保护法》第十三条第四款免于同意要求。但此类情形需严格限定，普通求职背调通常不适用。

建议：

• 对候选人：若不希望私人号码被用于背调，可在授权书中明确限制使用范围，或提供工作号码替代；
  
• 对公司：应建立合规背调流程，包括取得候选人书面同意、限定背调内容、选择正规背调机构等，避免法律风险。
  

如有进一步疑问，可直接向我咨询具体场景下的合规方案。