结论：员工重病期间，公司一般不可以随意辞退。但在特定情况下，如医疗期满后员工无法从事原工作或单位另行安排的工作，且双方未能就变更劳动合同达成协议时，用人单位可依法解除劳动合同。以下是对这一问题的详细分析：
一、医疗期内的保护
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条及《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，员工因患病或非因工负伤，在规定的医疗期内，用人单位不得解除劳动合同。医疗期的长短根据员工实际参加工作年限和在本单位工作年限确定，范围为三个月到二十四个月不等。
解雇限制：
- 在医疗期内，用人单位不得依据《劳动合同法》第四十条（无过失性辞退）和第四十一条（经济性裁员）的规定解除劳动合同。这是为了保护员工的权益，确保他们得到必要的治疗和恢复时间。
违法辞退的后果：
- 若单位在医疗期内违法辞退员工，员工有权要求继续履行劳动合同或要求单位支付赔偿金。赔偿金标准通常为经济补偿标准的二倍，经济补偿按员工在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向员工支付半个月工资的经济补偿。
二、医疗期满后的处理
能从事原工作或单位另行安排的工作：
- 医疗期满后，若员工能从事原工作，或虽不能从事原工作但用人单位另行安排工作后能胜任，用人单位一般不得辞退员工。
- 若要解除劳动合同，需支付经济补偿，标准按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
不能从事原工作也不能从事另行安排的工作：
- 医疗期满后，若员工既不能从事原工作，也不能从事用人单位另行安排的工作，且双方协商未能就变更劳动合同达成协议，用人单位在提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资后，可以解除劳动合同。
- 同时，用人单位需按照上述标准支付经济补偿，以及不低于六个月工资的医疗补助费。对于患重病和绝症的员工，医疗补助费还应适当增加。
三、特殊情况下的解雇
- 如果员工严重违反用人单位的规章制度等过错情形，即使处于重病期间，公司也可以依法辞退员工且无需支付经济补偿。这些情形包括但不限于：试用期间不符合录用条件、严重违反单位规章制度、严重失职给单位造成重大损害等。
四、实际操作建议
协商调整岗位：
- 根据员工健康状况，用人单位可以与员工协商调岗至力所能及的工作，如行政、后勤等，以保留劳动关系并体现人文关怀。
提供必要支持：
- 用人单位应协助员工申请社保中的医疗保险、大病救助或商业保险理赔，减轻员工的经济负担。
完善制度文件：
- 确保规章制度经民主程序制定且内容合法，避免在辞退员工时因制度瑕疵而引发法律纠纷。
留存沟通记录：
- 通过书面协议明确双方权利义务，避免口头承诺引发争议。在辞退员工前，应确保有充分证据证明员工不能从事原工作及另行安排的工作。
五、总结与建议
员工重病期间，公司应给予足够的关心和支持，避免轻易考虑辞退。同时，员工也应了解自己的权益和义务，必要时可寻求法律援助维护自己的合法权益。用人单位在处理与病重员工的劳动关系时，应严格遵循相关法律法规，确保行为的合法性，并承担相应的法律责任和义务。如果您或您身边的人遇到类似问题，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供详细的法律建议。