结论前置：孩子发现母亲被父亲家暴时，完全可以且应当报警。家庭暴力是违法行为，报警是保护受害者安全和权益的有效方式，也是制止家庭暴力的重要手段。

详细分析如下：

1. 家庭暴力的法律定义与性质：

   • 根据《中华人民共和国反家庭暴力法》的规定，家庭暴力是指家庭成员之间实施的包括殴打、捆绑、残害、限制人身自由以及经常性谩骂、恐吓等身体和精神侵害行为。这种行为不仅违反法律，而且严重侵害了受害者的合法权益和身心健康。
   • 在本案例中，父亲对母亲实施家暴，显然构成了家庭暴力行为，孩子作为家庭成员之一，有权利也有义务站出来保护母亲。

2. 报警的必要性与警方应对措施：

   • 必要性：当孩子发现母亲被家暴时，第一时间报警是至关重要的。报警能够迅速引起警方的关注，确保受害者得到及时的保护和援助。同时，报警也是制止家庭暴力行为、防止事态进一步恶化的有效手段。
   • 警方应对措施：
     • 制止家暴行为：警方会立即出警，赶到现场制止正在发生的暴力行为，确保受害者的人身安全。
     • 调查取证：警方会进行详细询问，收集现场证据（包括照片、视频、证人证言等），这些证据对于后续认定家暴事实至关重要。
     • 提供庇护或协助：若受害者处于危险之中，警方可能会协助安排临时庇护场所，确保其安全无虞。
     • 给予告诫书或处罚：根据情节轻重，警方会对施暴者给予批评教育、出具告诫书，或者依法处以拘留、罚款等治安处罚。如果暴力行为造成严重后果，如重伤等，还可能依法追究施暴者的刑事责任。

3. 孩子报警后的法律效应与其他保护措施：

   • 法律效应：报警后，警方的出警记录、调查材料等将成为日后寻求其他法律保护（如申请人身安全保护令、提起民事诉讼要求赔偿等）的重要依据。
   • 其他保护措施：除了报警，孩子还可以协助母亲向居民委员会、妇女联合会等组织反映情况，寻求帮助和支持。这些机构能够提供法律咨询、心理支持和其他有用的资源和服务，帮助母亲更好地应对家庭暴力带来的困境和挑战。

4. 特殊情况下的考虑：

   • 如果孩子年龄较小或无法独立报警，可以寻求其他家庭成员、邻居或老师的帮助，共同报警或采取其他保护措施。
   • 在某些情况下，如果母亲因家暴而受伤严重或生命受到威胁，孩子应立即拨打急救电话（如120）寻求医疗救助，同时报警。

总结与建议：

家庭暴力是不可接受的行为，它严重违反了法律，并对受害者的身心健康造成长期伤害。当孩子发现母亲被父亲家暴时，应勇敢地站出来，通过报警和其他途径寻求保护和帮助。同时，我也建议母亲在报警的同时，也寻求专业的法律和心理支持，以便更好地应对家庭暴力带来的困境和挑战。如果你或你的母亲在应对家庭暴力方面有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。