结论：自家猫抓伤别人，作为猫的饲养人或管理人，通常需要承担相应的赔偿责任，但具体责任大小需根据事件具体情况和双方过错程度来判断。
一、责任主体与过错判断
一般情况：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千二百四十五条，饲养的动物（如猫）造成他人损害的，动物饲养人或管理人应当承担侵权责任。这意味着，在一般情况下，如果自家的猫抓伤了别人，且没有证据表明对方存在故意或重大过失，那么作为饲养人或管理人，你需要承担赔偿责任。
对方存在过错：
- 如果能够证明损害是因被侵权人故意或者重大过失造成的（如主动挑衅、逗弄猫导致被抓伤），则可以根据《中华人民共和国民法典》第一千二百四十五条的规定，减轻或免除你的赔偿责任。例如，如果有监控视频显示对方是主动、故意逗弄猫咪并因此被抓伤，如用棍子捅猫、挑衅猫等，那么你作为饲养人可能无需承担全部赔偿责任。
二、赔偿范围与计算
赔偿范围：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千一百七十九条，因被猫抓伤造成的损害，赔偿内容应包括医疗费、护理费、误工费、交通费、营养费等为治疗和康复支出的合理费用。如果抓伤给伤者造成严重精神损害（如脸部等明显部位被抓伤，影响日常生活和社交），还可以根据具体情况要求精神损害抚慰金。若造成残疾或死亡，还应赔偿相应的辅助器具费、残疾赔偿金、丧葬费和死亡赔偿金。
具体计算：
- 医疗费：根据医疗机构出具的收款凭证及病历、诊断证明确定。
- 护理费：根据护理人员收入状况、护理人数和期限确定。护理人员有收入的，按误工费规定计算；无收入或雇佣护工的，参照当地护工劳务报酬标准计算。
- 误工费：根据误工时间和收入状况确定。误工时间由医疗机构证明，收入状况根据伤者是否有固定收入等情况计算。计算公式为：误工费 = 误工时间 × 每日收入。
- 交通费：以正式票据为凭，并与就医地点、时间、人数、次数相符。
- 营养费：根据伤者伤残情况及医疗机构意见确定，合理范围内的营养品费用可要求赔偿。
- 精神损害抚慰金：根据侵权人过错程度、侵害手段、场合、行为方式、后果及法院所在地平均生活水平等因素确定具体数额。
三、处理方式与建议
友好协商：
- 在发生此类纠纷时，建议首先尝试友好协商解决，明确事件经过和双方责任。通过协商，可以就赔偿项目和金额达成一致，避免不必要的法律纠纷。
调解与仲裁：
- 如果协商不成，可以寻求社区、调解机构的帮助进行调解。调解是一种快速、经济的解决纠纷方式，有助于双方达成和解。此外，双方也可以同意提交至仲裁委员会进行裁决，仲裁结果具有法律效力。
法律诉讼：
- 若上述方式均无法解决问题，伤者有权向法院提起民事诉讼。作为猫的饲养人或管理人，你应积极应诉，并委托专业律师代理，以更好地维护自身合法权益。在诉讼过程中，需提供充分的证据支持自己的主张，如医疗诊断证明、费用清单、证人证言等。
四、预防措施与建议
加强猫的管理：
- 为避免类似事件再次发生，应加强对猫的管理和约束。例如，将猫妥善圈养、悬挂警示标识等，以减少猫与外界的接触和冲突。
提高安全意识：
- 作为猫的饲养人或管理人，应提高安全意识，了解猫的行为习性和可能带来的风险。在猫与他人接触时，应密切关注猫的行为，及时制止可能引发冲突的行为。
购买宠物保险：
- 考虑购买宠物保险，以减轻因宠物造成的损害而产生的经济负担。宠物保险可以覆盖部分或全部赔偿费用，为饲养人或管理人提供一定的经济保障。
综上所述，自家猫抓伤别人后，作为饲养人或管理人，你需要根据事件具体情况和双方过错程度来判断责任大小，并承担相应的赔偿责任。在处理此类纠纷时，建议友好协商、调解或仲裁解决；若无法达成一致，则应通过法律途径维护自身合法权益。同时，为避免类似事件再次发生，应加强对猫的管理和约束，提高安全意识，并考虑购买宠物保险。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。