结论：在公司工伤案件被强制执行阶段提出向高院再审，公司需谨慎评估再审理由与证据，依法定程序操作，并考虑执行程序与再审程序的关系及影响。以下是具体分析：

1. 再审申请的提出与审查

   • 再审条件：根据《中华人民共和国民事诉讼法》及相关司法解释，再审程序通常针对已生效的判决、裁定，若公司认为原判决、裁定存在法定再审情形（如证据不足、适用法律错误等），可依法向高级人民法院申请再审。
   • 申请材料：公司需准备再审申请书，详细阐述再审理由及依据，并附上相关证据材料。再审申请书应明确指出原判决、裁定中的错误，并提供新证据或证明原证据存在瑕疵。
   • 审查程序：高院将对再审申请进行形式审查和实质审查。形式审查主要检查申请材料是否齐全、是否符合法定形式；实质审查则关注再审理由是否成立、证据是否充分。若高院认为再审申请符合条件，将裁定再审；否则，将裁定驳回。

2. 再审程序对执行程序的影响

   • 执行中止：根据《民事诉讼法》的相关规定，在再审期间，原则上中止原判决、裁定的执行。但需注意，若再审申请被驳回或再审后维持原判，执行程序将继续进行。
   • 执行措施：在再审期间，若公司未提供充分担保或存在其他妨碍执行的行为，法院可能继续采取执行措施，如查封、扣押、冻结财产等。

3. 公司的应对策略

   • 评估再审理由与证据：公司应全面评估再审理由的充分性和证据的可靠性，确保再审申请具有合理性和可行性。
   • 准备充分材料：公司需准备详尽的再审申请书及相关证据材料，以支持其再审请求。
   • 关注执行动态：在再审期间，公司应密切关注执行程序的动态，及时与法院沟通，了解执行进展，并采取必要措施保护自身权益。
   • 考虑和解或调解：若再审前景不明朗或执行压力较大，公司可考虑与对方进行和解或调解，以达成双方都能接受的解决方案。

4. 法律风险提示

   • 再审风险：再审程序具有不确定性，公司需做好再审申请被驳回或再审后维持原判的心理准备。
   • 执行风险：在再审期间，若公司未采取有效措施保护自身权益，可能面临财产被执行的风险。
   • 信誉风险：频繁申请再审或拖延执行可能影响公司的商业信誉和形象。

建议：公司在提出再审申请前，应全面评估再审理由与证据，制定合理的应对策略。在再审期间，密切关注执行动态，及时与法院沟通，并考虑和解或调解等替代性解决方案。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可直接向我咨询。