结论：在父亲死亡且母亲放弃财产的情况下，子女是可以继承父亲遗产的，但具体继承情况需根据是否存在遗嘱、法定继承人范围及顺序、母亲放弃财产的具体情况等因素综合确定。以下是对此问题的详细分析：
一、有遗嘱的情况
遗嘱效力优先：
- 如果父亲生前立有合法有效的遗嘱，并明确指定了遗产的继承人，那么应当按照遗嘱的内容进行继承。这意味着，即使母亲是配偶，但如果遗嘱中未将其列为继承人或未给予其继承份额，且母亲明确表示放弃财产，那么她将无法继承该遗产。同样，子女是否能继承也取决于遗嘱的具体内容。
遗嘱形式要求：
- 遗嘱的形式必须符合法律规定，如自书遗嘱需由遗嘱人亲笔书写、签名并注明年月日；代书遗嘱应当有两个以上见证人在场见证等。只有符合形式要求的遗嘱才具有法律效力。
二、无遗嘱的情况（法定继承）
第一顺序继承人：
- 在没有遗嘱的情况下，按照法定继承办理。根据《中华人民共和国民法典》第一千一百二十七条，遗产的第一顺序继承人为配偶、子女、父母。因此，在父亲死亡且母亲放弃财产的情况下，子女作为父亲的直系血亲后代，有权继承父亲的遗产。
继承份额：
- 同一顺序继承人继承遗产的份额，一般应当均等。但对生活有特殊困难又缺乏劳动能力的继承人，分配遗产时应当予以照顾；对被继承人尽了主要扶养义务或者与被继承人共同生活的继承人，可以多分；有扶养能力和有扶养条件的继承人，不尽扶养义务的，应当不分或者少分。在母亲放弃财产的情况下，子女可能继承更多的份额，但具体还需根据家庭情况和法律规定来确定。
母亲放弃财产的影响：
- 母亲作为配偶，原本也是第一顺序继承人之一。但她明确表示放弃财产后，将不再参与遗产的分配。这意味着，子女和其他第一顺序继承人（如父亲的父母，如果尚在世）将共同继承父亲的遗产。
三、特殊情况下的继承
转继承与代位继承：
- 如果父亲去世后，在遗产分割前母亲也去世（但本题中母亲是放弃财产而非去世，此情况不直接适用，但为全面分析仍提及），且母亲未放弃继承权，则她应继承的份额将转由其法定继承人继承（转继承）。此外，如果子女中有先于父亲死亡的，其晚辈直系血亲可以代位继承父亲应继承的份额（代位继承）。
保留胎儿继承份额：
- 如果父亲去世时，其妻子已怀孕，那么在分割遗产时应当为胎儿保留继承份额。胎儿娩出时是死体的，保留的份额按照法定继承办理。这一规定在本题中可能不直接相关，但体现了法律对胎儿权益的保护。
四、实际操作建议
了解遗嘱情况：
- 首先，需要了解父亲是否生前立有遗嘱，以及遗嘱的具体内容。这将直接影响遗产的分配方式。
确认母亲放弃财产的意思表示：
- 母亲放弃财产应当以书面形式作出明确表示，并最好进行公证以增强其法律效力。这有助于避免未来可能出现的纠纷。
办理相关手续：
- 对于需要办理变更登记的遗产（如不动产），在子女继承后，应根据相关法律法规办理相应的变更登记手续。
寻求专业法律帮助：
- 在处理遗产继承问题时，可能会涉及复杂的法律关系和程序。因此，建议寻求专业律师的帮助，以确保遗产的分配合法、公正、有效。
总结：在父亲死亡且母亲放弃财产的情况下，子女是可以继承父亲遗产的。但具体继承情况需根据是否存在遗嘱、法定继承人范围及顺序、母亲放弃财产的具体情况等因素综合确定。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。