结论：部分继承人可以就自己应当继承的部分，针对被继承人生前的债权提起诉讼，但需满足一定条件。以下是对此问题的详细分析：
一、法律依据与原则
根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，继承人以所得遗产实际价值为限清偿被继承人依法应当缴纳的税款和债务。这一原则同样适用于被继承人生前的债权，即继承人需在继承遗产的范围内承担被继承人生前的债权债务关系。若部分继承人希望就自己应当继承的部分提起诉讼，他们需确保自己确实继承了相应的遗产，并且该遗产的价值足以支持其诉讼主张。
二、起诉条件与情形
继承人确实继承了遗产：
- 部分继承人需提供证据证明自己确实继承了被继承人的遗产，且该遗产与所主张的债权有直接关联。
债权债务关系明确：
- 继承人需提供充分的证据证明被继承人生前与债务人之间存在明确的债权债务关系，如借条、合同、转账记录等。
在诉讼时效内提起诉讼：
- 继承人应在法定的诉讼时效期间内向法院提起诉讼，否则可能因超过诉讼时效而丧失胜诉权。
明确诉讼主张：
- 继承人在起诉时需明确自己的诉讼主张，即要求债务人偿还多少金额，以及该金额与自己继承遗产的关联。
三、特殊情况处理
多个继承人：
- 如果被继承人有多个继承人，且各继承人之间对遗产的分配存在争议，那么部分继承人提起诉讼时，需考虑其他继承人的权益。在这种情况下，可能需要通过协商、调解或诉讼等方式解决遗产分配问题，再确定各自应继承的遗产范围及相应的债权。
遗产不足以清偿债务：
- 如果被继承人的遗产不足以清偿全部债务，那么部分继承人提起诉讼时，需明确自己仅能在继承遗产的实际价值范围内主张权利。对于超出遗产实际价值的债务部分，除非继承人自愿偿还，否则不能强制要求其承担。
四、诉讼流程与建议
收集证据：
- 继承人应收集与被继承人生前的债权债务关系相关的证据，以及自己继承遗产的相关证据。
确定被告：
- 继承人应明确起诉的债务人身份，并了解其财产状况及还款能力。
向法院提起诉讼：
- 继承人应向有管辖权的法院提交起诉状及相关证据材料，请求法院判决债务人偿还债务。
参与庭审：
- 在庭审过程中，继承人应充分陈述自己的诉求和理由，并提供相关证据支持。同时，也需要对债务人的抗辩进行回应。
等待判决结果：
- 法院将根据双方提供的证据和法律规定作出判决。如果继承人胜诉，债务人将需要在判决规定的期限内偿还债务。
建议：在处理此类案件时，部分继承人应充分考虑各种因素，包括遗产的分配、债权债务关系的明确性、诉讼时效等。如有需要，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供更详细的法律指导。