结论：当事人对下级检察院作出的不支持监督申请的民事决定不服时，可以通过向上一级人民检察院申请复查、向其他有关部门反映情况、通过司法途径解决以及保持冷静与理性并寻求专业帮助等多种途径来维护自身合法权益。

详细分析：

1. 向上一级人民检察院申请复查

   • 法律依据与程序：根据《人民检察院民事诉讼监督规则》的相关规定，当事人对人民检察院作出的不支持监督申请决定不服的，可以在收到决定书之日起一定期限内（通常为一年，具体依据最新规定）向上一级人民检察院申请复查一次。申请复查时，需准备详细的复查申请书，阐述不服的具体理由，并附上相关证据材料，如原监督申请书、不支持监督决定书、新的证据或理由等。上一级检察院将审查申请，可能重新调查核实，并根据结果作出维持、变更或撤销原决定的处理。
   • 操作建议：在准备复查申请时，务必确保申请书内容详实、理由充分，并附上所有相关证据材料。提交申请后，保持与上级检察院的联系，及时了解复查进度和结果。

2. 向其他有关部门反映情况

   • 人大常委会信访部门：作为国家权力机关的常设机构，人大常委会可接受当事人的反映，并推动问题解决。当事人可准备详细的案件材料和清晰诉求，通过正式渠道向同级人大或其常委会提交报告，反映对检察院不支持监督决定的不满。
   • 纪检监察机关：若当事人怀疑检察院工作人员在办案过程中存在违纪违法等行为，可向纪检监察机关举报。举报时，需提交具体事实、证据及线索，以便纪检监察机关进行调查核实。

3. 通过司法途径解决

   • 民事诉讼：在民事权益受影响的案件中，若当事人认为原判决、裁定存在错误，且符合再审条件，可依法向人民法院提起再审申请。此外，若符合受理条件，当事人也可通过新的民事诉讼来维护自身权益。例如，在虚假诉讼监督案中，可向法院提起民事诉讼要求对方承担责任。
   • 行政诉讼（特定情形）：虽然行政诉讼通常针对行政机关的行政行为，但在某些特定情形下，若检察院的行政行为（如监督行为）对当事人产生实际影响且符合起诉条件，当事人也可依法提起行政诉讼，请求法院审查和裁决。

4. 保持冷静与理性并寻求专业帮助

   • 心态调整：在处理此类问题时，当事人应保持冷静和理性，尊重法律程序和专业机构的决定。耐心和坚持是成功的关键，同时要注意保护自己的合法权益免受侵害。
   • 专业律师协助：作为专业律师，我建议当事人在处理此类复杂法律问题时，及时寻求专业律师的帮助。律师具备深厚的法律知识和实践经验，能够帮助当事人分析案情、制定申诉策略，并提供专业法律意见和支持。

行动建议：

• 首先，仔细研究检察院作出的不支持监督决定书，明确其不支持的理由和依据，这是判断是否有合理申诉基础的关键步骤。
• 其次，根据上述分析，选择适合的途径进行申诉或反映情况。若选择向上一级人民检察院申请复查，务必准备充分的材料并遵循相关程序。
• 最后，保持与相关部门的沟通联系，及时了解处理进度和结果，并根据需要调整申诉策略。

在整个过程中，如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。我将根据您的具体情况，提供更为详细和专业的法律建议。