您好，针对您提出的问题，即刚出生的婴儿在只有医院出生证明且没有结婚证的情况下上户口是否需要做亲子鉴定，以下是我的详细解答：

首先，根据公安部《户口居民身份证管理工作规范(试行)》的相关规定，婴儿出生后一个月以内，父亲、母亲或者其他监护人需要向父亲或者母亲户口所在地公安派出所申报出生登记。在申报时，通常需要提供《出生医学证明》、父母一方的居民户口簿以及结婚证或者非婚生育说明。

对于您的情况，由于您没有结婚证，因此属于非婚生育子女。在这种情况下，如果您希望婴儿随父亲申报出生登记，那么根据规定，您需要一并提供具有资质的鉴定机构出具的亲子鉴定证明。这是为了确认婴儿与父亲之间的亲子关系，确保户口登记的准确性和合法性。

然而，如果您选择让婴儿随母亲申报出生登记，并且母亲能够提供自己的居民户口簿和《出生医学证明》，那么在这种情况下，通常不需要提供亲子鉴定证明。因为母亲与婴儿之间的亲子关系在出生时就已经通过《出生医学证明》得到了确认。

综上所述，对于非婚生育子女上户口的问题，是否需要提供亲子鉴定证明取决于您选择让婴儿随哪一方申报出生登记。如果随父亲申报，则需要提供；如果随母亲申报，并且母亲能够提供相关证明，则通常不需要提供。

希望这个解答能够帮助您更好地理解相关流程和要求，如果您还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时告诉我。