核心结论：在此情况下，要保住自身合理权益并妥善处理此事，关键在于积极面对、依法依规处理，通过诚恳沟通、合理道歉以及采取必要措施防止损害扩大等方式来化解矛盾，而非试图逃避责任。以下是具体分析：

1. 从法律责任角度
   • 民事侵权责任：孩子将别人家孩子的视频传出去，可能侵犯了对方孩子的肖像权、隐私权等民事权益。根据《中华人民共和国民法典》相关规定，无民事行为能力人、限制民事行为能力人造成他人损害的，由监护人承担侵权责任。所以，您作为监护人需要为孩子的行为承担相应民事责任。对方要求公开道歉是合理诉求之一，若拒绝公开道歉，对方可能会通过法律途径解决，届时您可能不仅要公开道歉，还可能面临赔偿损失等更不利的法律后果。
   • 积极应对措施：您应主动与对方家长沟通，表达对孩子行为的认识和歉意，表明愿意承担相应责任。可以与对方协商公开道歉的方式和范围，例如在双方都认可的社交平台或社区内发布道歉声明，以尽量减少对孩子和双方家庭的影响。
2. 从道德和社会关系角度
   • 维护良好关系：公开道歉不仅是法律上的要求，也是道德层面的体现。及时公开道歉有助于维护良好的邻里关系或社交关系，避免矛盾进一步激化。如果拒绝道歉，可能会引起对方的不满和反感，导致双方关系恶化，甚至可能引发其他不必要的纠纷。
   • 教育孩子方面：通过积极处理此事，向孩子传达尊重他人权益、勇于承担责任的重要性，对孩子树立正确的价值观和行为准则具有积极意义。您可以和孩子一起向对方道歉，让孩子认识到自己的错误，并承诺以后不再犯类似错误。
3. 从防止损害扩大角度
   • 及时删除视频：在得知此事后，应立即采取措施删除已传播的视频，防止视频进一步扩散，减少对对方孩子造成的损害。如果视频已经在多个平台传播，要尽可能联系平台管理员进行删除处理。
   • 关注对方孩子情况：关注对方孩子的心理和生活状况，若因视频传播给对方孩子造成了心理伤害或其他不良影响，应积极提供帮助和支持，如建议对方家长带孩子进行心理疏导等。