在以下情况下，当事人可以向人民法院申请再审：
有新的证据足以推翻原判决、裁定：
- 情形说明：如果在原审判决或裁定作出后，发现了新的证据，且这些新证据能够证明原判决、裁定认定的事实存在错误，或者能够改变案件的定性，那么当事人可以以此为由申请再审。例如，原判决所依据的关键证据系伪造或变造，而新发现的物证、书证、视听资料等能够直接证明案件事实的证据，足以推翻原判决。
- 法律依据：《中华人民共和国民事诉讼法》第二百一十一条第一项规定，有新的证据，足以推翻原判决、裁定的，人民法院应当再审。
原判决、裁定认定的基本事实缺乏证据证明：
- 情形说明：如果原判决、裁定所依据的基本事实没有充分的证据支持，或者证据之间存在矛盾，无法形成完整的证据链，导致案件事实不清，那么当事人可以申请再审。例如，借贷纠纷中缺少借条、转账记录等关键证据，使得主要事实无证据支撑。
- 法律依据：《中华人民共和国民事诉讼法》第二百一十一条第二项规定，原判决、裁定认定的基本事实缺乏证据证明的，人民法院应当再审。
原判决、裁定认定事实的主要证据是伪造的：
- 情形说明：如果原判决、裁定所依据的主要证据被证实是伪造的，即证据的真实性存在问题，那么当事人可以申请再审。例如，关键证据经鉴定为虚假文件，如伪造的合同签名、篡改的财务凭证。
- 法律依据：《中华人民共和国民事诉讼法》第二百一十一条第三项规定，原判决、裁定认定事实的主要证据是伪造的，人民法院应当再审。
原判决、裁定认定事实的主要证据未经质证：
- 情形说明：在诉讼过程中，证据必须经过双方当事人的质证，才能作为认定案件事实的依据。如果原判决、裁定所依据的主要证据未经质证，就作为了认定案件事实的依据，那么当事人可以申请再审。
- 法律依据：《中华人民共和国民事诉讼法》第二百一十一条第四项规定，原判决、裁定认定事实的主要证据未经质证的，因不能成为定案依据，人民法院应当再审。
对审理案件需要的主要证据，当事人因客观原因不能自行收集，书面申请人民法院调查收集，人民法院未调查收集的：
- 情形说明：在某些情况下，当事人可能由于客观原因（如证据由第三方掌握、证据涉及国家秘密等）无法自行收集到对案件有重大影响的证据。此时，当事人可以向人民法院申请调查收集证据。如果人民法院未予调查收集，且该证据对案件结果有实质性影响，那么当事人可以申请再审。
- 法律依据：《中华人民共和国民事诉讼法》第二百一十一条第五项规定，对审理案件需要的主要证据，当事人因客观原因不能自行收集，书面申请人民法院调查收集，人民法院未调查收集的，人民法院应当再审。
原判决、裁定适用法律确有错误的：
- 情形说明：如果原判决、裁定在适用法律上存在错误，如适用了已经失效的法律、错误地解释了法律条文等，导致判决结果不公，那么当事人可以申请再审。例如，将合同纠纷错误适用侵权责任法，或者对法律解释存在重大偏差，导致裁判结果显失公正。
- 法律依据：《中华人民共和国民事诉讼法》第二百一十一条第六项规定，原判决、裁定适用法律确有错误的，人民法院应当再审。
审判组织的组成不合法或者依法应当回避的审判人员没有回避的：
- 情形说明：如果审判组织的组成不符合法律规定（如合议庭成员人数不足、审判人员不具备相应资格等），或者依法应当回避的审判人员没有回避，影响了案件的公正审理，那么当事人可以申请再审。例如，合议庭成员不具备审判员资格，或者人民陪审员参与不应由其审理的案件。
- 法律依据：《中华人民共和国民事诉讼法》第二百一十一条第七项规定，审判组织的组成不合法或者依法应当回避的审判人员没有回避的，人民法院应当再审。
无诉讼行为能力人未经法定代理人代为诉讼或者应当参加诉讼的当事人，因不能归责于本人或者其诉讼代理人的事由，未参加诉讼的：
- 情形说明：如果无诉讼行为能力人未经法定代理人代为诉讼，或者应当参加诉讼的当事人因不可归责于其本人或其诉讼代理人的事由未能参加诉讼，导致案件审理程序不完整，那么当事人可以申请再审。例如，无诉讼行为能力人未经法定代理人代为诉讼，或者必要共同诉讼人未被通知参加诉讼。
- 法律依据：《中华人民共和国民事诉讼法》第二百一十一条第八项规定，无诉讼行为能力人未经法定代理人代为诉讼或者应当参加诉讼的当事人，因不能归责于本人或者其诉讼代理人的事由，未参加诉讼的，人民法院应当再审。
违反法律规定剥夺当事人辩论权利的：
- 情形说明：辩论权利是当事人诉讼权利的重要组成部分。如果法院在审理过程中违反法律规定剥夺当事人的辩论权利，如未依法通知当事人参加诉讼、限制当事人陈述申辩的法定权利等，那么当事人可以申请再审。
- 法律依据：虽然《中华人民共和国民事诉讼法》第二百一十一条未直接列举此情形，但根据诉讼原理及司法实践，剥夺当事人辩论权利属于严重违反法定程序的情形，通常可通过再审程序予以纠正。
其他特殊情形：
- 检察监督程序：上级检察院抗诉引发再审，或者最高人民检察院提出抗诉的案件必须再审。
- 特定主体申请：案外人对执行标的提出异议被驳回后，可申请再审；必要共同诉讼人未被通知参加诉讼时，可单独申请再审。
申请再审的程序与材料：
- 在申请再审时，当事人需按照法律规定的程序提交相关申请材料，包括但不限于再审申请书、新证据材料、原判决裁定书等。法院将对申请材料进行审查，若符合再审条件，将重新审理案件。
时间限制：
- 一般来说，当事人应在判决生效后六个月内提出再审申请。若发现新证据或审判人员违法行为等特殊情形，可自知道或应当知道之日起六个月内或三个月内提出申请。特定情形下，再审申请期限可延长至判决生效两年内。
综上所述，当事人在面临上述任一情形时，均有权依法申请再审，以维护自身合法权益和确保司法的公正性。如有具体法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。