当您遇到合同到期但单位不愿意签订无固定期限劳动合同的情况时，您可以按照以下步骤来维护自己的合法权益：

一、确认自身是否符合签订条件

首先，您需要确认自己是否满足《劳动合同法》第十四条中规定的签订无固定期限劳动合同的条件。这些条件包括：

1. 您在该用人单位已经连续工作满十年；
2. 用人单位初次实行劳动合同制度或国有企业改制重新订立劳动合同时，您已连续工作满十年且距法定退休年龄不足十年；
3. 您已经连续订立了二次固定期限劳动合同，且没有严重违反规章制度或不能胜任工作等情形，现在续订劳动合同；
4. 用人单位自用工之日起满一年未与您订立书面劳动合同的，这种情况下也视为已订立无固定期限劳动合同。

二、尝试与单位友好协商

在确认自己符合签订条件后，您可以主动与用人单位进行友好协商，明确表达自己希望签订无固定期限劳动合同的意愿，并阐述签订此类合同对双方的好处，比如增强员工稳定性、提高工作积极性等。如果直接协商无果，您可以考虑向工会反映情况，请求工会协助与用人单位沟通和协调。

三、申请劳动仲裁

如果协商仍然无法解决问题，您可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁。在申请仲裁前，您需要准备好相关材料，包括劳动仲裁申请书（写明申请人和被申请人的基本信息、仲裁请求、事实和理由）和证据材料（如劳动合同、工资条、工作证、考勤记录、社保缴纳记录等）。仲裁流程一般包括立案、审理和裁决三个阶段。如果仲裁裁决支持您的请求，用人单位将被要求与您签订无固定期限劳动合同。

四、提起诉讼

如果您对劳动仲裁结果不满意，可以在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。在诉讼过程中，您需要按照法院要求提交相关材料，并参加庭审。如果法院判决用人单位应与您签订无固定期限劳动合同而单位拒不执行，您可以申请强制执行。

五、要求赔偿

根据《劳动合同法》第八十二条的规定，如果用人单位违反规定不与您订立无固定期限劳动合同，那么从应当订立之日起，用人单位需要向您每月支付二倍的工资作为经济赔偿。二倍工资的计算基数为您正常工作时间的月工资，计算期限从应当订立之日起至实际签订之日止，但最长不超过十一个月。

六、保持冷静与理性

在整个维权过程中，您需要保持冷静和理性，了解自己的法律权益和维权途径。同时，也要注意保留好所有相关的证据材料，以确保在协商、仲裁或诉讼中能够有力地支持自己的主张。

总之，当单位不愿意签订无固定期限劳动合同时，您有权依法维护自己的合法权益。通过确认条件、友好协商、申请仲裁、提起诉讼以及要求赔偿等步骤，您可以有效地解决这一问题。