母亲带着儿子改嫁后，母亲一般对爷爷的遗产没有继承权，但儿子通常仍然有权继承爷爷的遗产，具体分析如下：
一、母亲的继承权
通常情况下，儿媳并不属于公公（爷爷）的法定继承人范围，因为她们之间的关系是基于婚姻关系而产生的姻亲关系。在母亲改嫁后，这种姻亲关系随之消失，因此，一般而言，母亲在改嫁后对爷爷的遗产没有法定继承权。
然而，存在一个特殊情况：如果母亲在丈夫（即爷爷的儿子）去世后，对爷爷尽了主要赡养义务，那么根据《中华人民共和国民法典》第一千一百二十九条的规定，丧偶儿媳对公婆尽了主要赡养义务的，可以作为第一顺序继承人继承公婆的遗产。在这种情况下，即使母亲后来改嫁，她仍然有权继承爷爷的遗产。
二、儿子的继承权
与母亲的继承权不同，儿子对爷爷遗产的继承权是受到法律保护的，且不受母亲改嫁的影响。具体分析如下：
代位继承的情况：
- 如果父亲（爷爷的儿子）先于爷爷去世，根据《中华人民共和国民法典》第一千一百二十八条的规定，被继承人的子女先于被继承人死亡的，由被继承人的子女的直系晚辈血亲代位继承。因此，在这种情况下，儿子作为父亲的直系晚辈血亲，有权代位继承爷爷的遗产，且代位继承人一般只能继承被代位继承人有权继承的遗产份额。
转继承的情况：
- 如果爷爷去世时父亲还在世，并且父亲在继承开始后、遗产分割前去世，且没有放弃继承权，那么父亲应继承的爷爷的遗产份额会转由父亲的合法继承人继承。儿子作为父亲的子女之一，属于父亲的法定继承人，因此有权参与转继承，从而获得爷爷的部分遗产。
遗嘱继承的情况：
- 如果爷爷生前立有合法有效的遗嘱，并明确将遗产留给儿子，那么儿子可以依据遗嘱直接继承爷爷的遗产，不受法定继承顺序的限制。遗嘱需符合形式要件（如自书、公证等），否则可能被认定无效。
三、特殊情况说明
- 形成扶养关系的继子女身份：若母亲改嫁后，儿子与继祖父共同生活并形成扶养关系，可能被视为继祖父的“有扶养关系的继子女”，从而具备法定继承人资格。但此情形需结合具体证据判断，如共同生活的时间、扶养的程度等。
- 收养关系的排除：若儿子已被他人收养，则与生父母的血亲关系终止，无法继承生家族遗产。
四、建议与行动
- 核查遗嘱：确认爷爷是否留有有效遗嘱及内容，以了解遗产分配的具体意愿。
- 梳理亲属关系：明确父亲是否在世及其继承权状态，以判断儿子是否享有代位继承或转继承的权利。
- 收集扶养证据：若主张继子女权利或丧偶儿媳的继承权，需提供共同生活的证明或尽了主要赡养义务的证据。
- 法律咨询与行动：在复杂情况下，建议直接向我咨询，我会根据具体情况提供详细的法律建议和行动方案，确保权益得到实现。
总结来说，母亲带着儿子改嫁后，母亲对爷爷的遗产一般没有继承权，但如果她对爷爷尽了主要赡养义务，则可以作为第一顺序继承人继承爷爷的遗产。而儿子对爷爷的遗产有明确的继承权，无论母亲是否改嫁，他的继承权都不受影响。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。