当行政处罚裁定不予执行时，无论是从行政机关还是当事人的角度，都需要采取一系列措施来妥善处理这一情况。以下是从两个角度出发的详细解答：
行政机关角度
确认不予执行的情形是否合法
没有法定依据或不遵守法定程序：如果行政处罚决定本身存在没有法定依据或者不遵守法定程序的问题，那么该处罚决定本身就是违法的，依法不应执行。例如，执法人员在作出处罚决定时未告知当事人陈述、申辩的权利，或者处罚决定所依据的法律法规已经废止。此时，行政机关应当自行撤销该违法的行政处罚决定，并重新按照合法的程序和依据进行调查和处理。
当事人履行不能：若行政处罚决定本身合法，但当事人由于客观原因无法履行处罚内容，如因遭遇重大自然灾害导致生活困难，确实没有能力缴纳罚款。行政机关可以根据实际情况，考虑采取其他替代性的执行方式，如暂缓执行、分期执行等；或者根据相关法律规定，报请有关机关批准后，减免部分或全部罚款。
超过执行时效：根据《行政处罚法》规定，如果违法行为在法定期限内未被发现，或者超过了法定的执行时效，行政处罚决定也不应再执行。行政机关应当依法终止执行程序，不得再对该违法行为进行处罚。
完善后续工作
通知当事人：行政机关应以书面形式正式通知当事人行政处罚决定不予执行的情况及理由，确保当事人的知情权。
归档管理：将不予执行的相关材料整理归档，包括不予执行的审批文件、证据材料等，以备日后查阅和监督。
总结经验教训：对不予执行的案例进行分析总结，查找在行政执法过程中存在的问题和不足，以便改进工作方法和提高执法水平。
当事人角度
了解不予执行的原因
主动询问：当事人有权向作出行政处罚决定的行政机关了解不予执行的具体原因。可以通过书面申请、电话沟通等方式向行政机关提出询问，要求行政机关给予明确的答复。
查看相关文件：行政机关在作出不予执行决定时，通常会制作相关的法律文书，当事人可以要求查看这些文件，了解自己的权益保障情况。
维护自身合法权益
申请行政复议或提起行政诉讼：如果当事人认为行政处罚决定本身存在问题，如事实认定不清、适用法律错误等，即使行政机关作出了不予执行的决定，当事人仍然可以依法申请行政复议或者提起行政诉讼，请求复议机关或人民法院对行政处罚决定的合法性进行审查。当事人应在规定的期限内（一般为知道该具体行政行为之日起六十日内提出行政复议申请，三个月内提起行政诉讼），向有管辖权的复议机关或人民法院提交复议申请或起诉状，并按照要求提供相关证据和材料。
监督行政机关行为：当事人可以对行政机关不予执行后的后续处理工作进行监督，确保行政机关依法履行职责。如果发现行政机关存在违法违规行为，可以向有关部门进行投诉、举报。
寻求救济途径：如果行政机关的不予执行决定损害了当事人的合法权益，当事人可以通过合法途径寻求救济，如向上级主管部门反映情况等。
综上所述，行政处罚裁定不予执行后，行政机关和当事人都需要根据具体情况采取相应的措施。行政机关应确保不予执行的合法性，并完善后续工作；当事人则应了解不予执行的原因，并积极维护自身合法权益。