结论：能否起诉成功并赢得官司，取决于多个因素，包括合同的具体内容、装修款支付方式的约定、客户不付尾款的理由以及您能否提供充分的证据等。如果合同内容明确，且您能提供充分证据证明客户违约，那么起诉成功的可能性较大。
详细分析：
合同内容：
- 首先，需要仔细审查合同中关于装修款支付方式的条款。如果合同中明确规定了装修款应支付至私人账户，并且这一条款是双方真实意思的表示，没有违反法律法规的强制性规定，那么该条款是有效的。
- 如果合同中没有明确规定支付方式，或者规定不明确，那么可能需要根据交易习惯、行业惯例或双方后续的沟通记录来确定支付方式。
客户不付尾款的理由：
- 客户以装修款写的是私户为由要挟不付尾款，这一理由是否成立，取决于合同的具体内容以及相关法律法规的规定。
- 如果合同中明确规定了支付方式，并且客户没有合理的理由拒绝支付，那么客户的行为可能构成违约。
- 如果客户认为支付方式存在问题，比如担心资金安全、税务问题等，并且这些担忧是合理的，那么可能需要双方进一步协商解决。
证据提供：
- 在起诉过程中，您需要提供充分的证据来证明客户违约。这包括但不限于合同文本、沟通记录、付款凭证等。
- 如果您能提供这些证据，并且证据能够形成完整的证据链，那么起诉成功的可能性会大大增加。
法律后果：
- 如果起诉成功，法院可能会判决客户支付尾款及可能的违约金、利息等。
- 如果客户拒不履行判决，您还可以申请法院强制执行。
建议：
- 收集证据：尽快收集与合同、付款、沟通等相关的所有证据，确保在起诉时能够提供充分的证明。
- 咨询律师：在起诉前，最好咨询一位专业律师，对合同、证据以及可能的法律后果进行全面评估。
- 尝试协商：在起诉前，也可以尝试与客户进行协商，看是否能够达成和解，避免不必要的法律纠纷。
后续行动：
- 如果您决定起诉，需要准备起诉状、证据清单等材料，并向有管辖权的法院提起诉讼。
- 在诉讼过程中，需要积极配合法院的工作，按时出庭、提交证据等。
如果您有任何进一步的疑问或需要更具体的法律建议，请直接向我咨询。