结论：私人老板欠农民工工资，甲方老板是否有责任，这主要取决于甲方老板与私人老板（即实际用工者或承包方）之间的法律关系以及具体合同约定。以下从不同角度进行分析：

1. 如果甲方老板是发包方，与私人老板存在承包或分包关系：

   • 法律关系分析：在此情况下，甲方老板（发包方）与私人老板（承包方或分包方）之间通常存在合同关系。根据《保障农民工工资支付条例》等相关法律法规，发包方有义务监督承包方或分包方的工资支付情况，确保农民工工资不被拖欠。
   • 责任判定：若甲方老板未履行监督义务，导致私人老板拖欠农民工工资，甲方老板可能需承担一定的连带责任或补充责任。具体责任范围需根据合同约定、法律法规以及实际情况综合判断。
   • 建议行动：农民工可先向私人老板追讨工资，若私人老板无力支付或拒绝支付，可向甲方老板提出追讨要求，并同时向当地劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁。

2. 如果甲方老板与私人老板之间不存在直接的合同关系：

   • 法律关系分析：若甲方老板仅是提供工作场所、设备或资源等，而与私人老板之间不存在直接的承包、分包或雇佣关系，则甲方老板通常不对私人老板拖欠的工资承担责任。
   • 责任判定：在此情况下，农民工应直接向私人老板追讨工资，并可通过法律途径（如起诉、申请强制执行等）维护自己的合法权益。
   • 建议行动：农民工应收集相关证据（如工作记录、工资单、合同等），证明自己与私人老板之间的劳动关系及工资拖欠事实，然后向法院提起诉讼或申请劳动仲裁。

3. 特殊情况下的责任判定：

   • 若甲方老板存在过错：如甲方老板明知私人老板无支付能力仍与其合作，或故意隐瞒私人老板的支付能力问题等，导致农民工工资被拖欠，甲方老板可能需承担一定的过错责任。
   • 若存在违法分包或转包：根据相关法律法规，违法分包或转包可能导致发包方承担连带责任。因此，若甲方老板存在违法分包或转包行为，且该行为与农民工工资被拖欠存在因果关系，甲方老板可能需承担连带责任。

法律背景与建议：

• 农民工在追讨工资时，应首先明确自己的劳动关系归属，即确定是与私人老板还是甲方老板存在劳动关系。
• 收集并保存好相关证据，如工作记录、工资单、合同、聊天记录等，以便在追讨工资或提起诉讼时提供有力支持。
• 在追讨工资过程中，可寻求当地劳动监察部门、工会或法律援助机构的帮助和支持。
• 若对法律程序不熟悉或担心自身权益无法得到保障，建议及时咨询专业律师（即我，韩从丰律师，专注于交通事故赔偿、工伤赔偿领域），以便获得更具体、更专业的法律建议。

可能法律后果：

• 若私人老板或甲方老板被认定存在拖欠工资行为，可能面临劳动监察部门的处罚、农民工的起诉以及法院的强制执行等法律后果。
• 对于恶意拖欠工资的行为，还可能构成拒不支付劳动报酬罪，依法追究刑事责任。