结论：伤残十级赔付完后，公司一般不能随意辞退员工，但特定情况下可以依法解除劳动关系。以下是对此问题的详细分析：
一般情况下不得随意辞退
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条的规定，劳动者在本单位患职业病或者因工负伤并被确认丧失或者部分丧失劳动能力的，用人单位不得依据该法第四十条（无过失性辞退）、第四十一条（经济性裁员）的规定解除劳动合同。工伤十级属于部分丧失劳动能力的情况，因此，公司在此情况下不能随意辞退员工。
员工存在过错时可以辞退
- 尽管有上述保护规定，但如果工伤十级伤残的员工存在《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条规定的严重过错情形，如严重违反用人单位的规章制度、严重失职给用人单位造成重大损害等，公司仍有权解除劳动合同，且无需支付经济补偿。但公司必须对员工存在的严重过错情形承担举证责任，确保辞退行为的合法性。
劳动合同期满或员工主动解除的情况
- 劳动合同期满：若劳动合同期满且未续签，或职工本人提出解除劳动合同，公司可以与其解除劳动关系，但需按照省、自治区、直辖市人民政府的规定支付一次性工伤医疗补助金和伤残就业补助金。
- 员工主动提出：若员工主动向公司提出解除劳动合同，公司同样需支付一次性工伤医疗补助金和伤残就业补助金，但无需支付其他经济补偿。
特殊情况下的处理
- 如果员工因工伤导致不能胜任原来的工作，公司应首先考虑通过培训或调整工作岗位来帮助员工继续工作。若经过培训或调整岗位后仍不能胜任，公司需提前三十日以书面形式通知劳动者本人或额外支付一个月工资后，才能解除劳动合同，并依法支付经济补偿。经济补偿的计算方式为：按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
建议与总结：
- 对于工伤十级伤残的员工，公司应给予充分的关怀和合理的安排，如调整岗位以适应其身体状况，避免随意辞退。
- 员工也应了解自身的合法权益，并在必要时寻求法律帮助。如果公司违法辞退，员工有权要求公司继续履行劳动合同或支付赔偿金。
- 在处理此类问题时，公司应严格遵守法律法规，确保员工的合法权益得到切实保障。如有任何疑问或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询。