在工亡赔偿已经获得一定补偿后，若您认为公司还应承担额外的赔偿责任，或者工亡赔偿的某些方面未得到妥善处理，您可以按照以下步骤更有效地申请公司赔偿：

一、明确赔偿诉求与依据

首先，您需要明确自己希望从公司获得哪些额外的赔偿，以及这些赔偿的法律依据是什么。这可能包括但不限于：

• 未涵盖在工伤保险范围内的费用：如某些特定的医疗费用、康复费用或丧葬费用等。
• 公司未履行安全保障义务的责任：如果工亡是由于公司违反安全生产规定或未提供必要的安全防护措施导致的，您可能有权要求公司承担额外的赔偿责任。
• 精神损害赔偿：在特定情况下，如果工亡给家属带来了严重的精神损害，您可能还有权要求公司支付精神损害赔偿。

二、收集与整理证据

为了支持您的赔偿诉求，您需要收集并整理相关证据，包括但不限于：

• 工亡事故的相关记录：如事故报告、现场照片、视频等。
• 医疗记录与费用清单：证明工亡职工的医疗费用和康复费用。
• 劳动关系证明：如劳动合同、工资单、社保缴纳记录等，证明工亡职工与公司的劳动关系。
• 公司违反安全规定的证据：如安全检查报告、违规记录、证人证言等。
• 精神损害的证明：如心理咨询记录、医生诊断证明等，证明工亡给家属带来的精神损害。

三、与公司协商

在准备好证据后，您可以尝试与公司进行协商，明确表达您的赔偿诉求和依据，并展示您收集的证据。在协商过程中，保持冷静和理性，尽量以和解的方式解决问题。如果公司同意承担额外的赔偿责任，双方可以签订赔偿协议，明确赔偿金额、支付方式和时间等条款。

四、申请劳动仲裁或提起诉讼

如果与公司协商无果，或者公司拒绝承担任何额外赔偿责任，您可以考虑申请劳动仲裁或提起诉讼。

• 申请劳动仲裁：向当地劳动仲裁委员会提交仲裁申请，附上相关证据和赔偿诉求。劳动仲裁委员会将依法进行审理，并作出裁决。如果对裁决结果不服，您还可以在收到裁决书后的一定期限内向法院提起诉讼。
• 提起诉讼：直接向法院提起民事诉讼，要求公司承担额外的赔偿责任。在诉讼过程中，您需要提交充分的证据来支持您的诉求，并接受法院的审理和判决。

五、关注申请进度与法律救济

在申请劳动仲裁或提起诉讼的过程中，您需要密切关注申请进度，并及时响应仲裁委员会或法院的要求。如果遇到任何疑问或困难，您可以咨询专业律师或相关法律机构，以获取更专业的法律建议和帮助。

六、执行判决或裁决

如果劳动仲裁委员会或法院作出了有利于您的裁决或判决，但公司拒绝履行，您可以向法院申请强制执行。法院将依法采取措施，确保裁决或判决得到执行，从而保障您的合法权益。

在整个申请公司赔偿的过程中，务必确保提交材料的真实性、完整性，并密切关注申请进度。遇到任何疑问或困难时，及时咨询专业律师或相关法律机构是明智之举，以有效维护自身合法权益。