结论：在一家鉴定机构对“三期”（通常指误工期、护理期、营养期）无法做出鉴定的情况下，您有权委托其他鉴定机构进行鉴定，即使对方不同意再次重新鉴定。
详细分析：
鉴定机构的独立性：
- 鉴定机构是独立的第三方机构，其鉴定结果应当客观、公正。如果一家鉴定机构无法对“三期”做出鉴定，这并不意味着其他鉴定机构也无法进行鉴定。每个鉴定机构都有其专业的鉴定人员和鉴定方法，因此，您完全有权选择另一家鉴定机构进行鉴定。
对方不同意再次鉴定的法律效果：
- 对方不同意再次鉴定，并不构成阻止您委托其他鉴定机构进行鉴定的法律障碍。在民事诉讼中，鉴定是当事人为了证明自己的主张而提供的证据之一。如果一方对鉴定结果有异议，或者认为鉴定机构无法完成鉴定，其有权选择其他鉴定机构进行重新鉴定。
法律程序上的支持：
- 在诉讼过程中，如果一方对鉴定结果有异议，可以向法院提出重新鉴定的申请。法院会根据案件的具体情况，决定是否允许重新鉴定，并指定或允许当事人选择其他鉴定机构进行鉴定。因此，即使对方不同意，您仍然可以通过法律程序来推动重新鉴定的进行。
实际操作中的建议：
- 在选择其他鉴定机构时，建议您选择具有相关资质和经验的鉴定机构，以确保鉴定结果的准确性和可靠性。
- 同时，您应当保留好与原鉴定机构的沟通记录、鉴定报告等相关证据，以便在需要时向法院提供。
- 如果对方仍然坚持不同意重新鉴定，您可以在诉讼过程中向法院提出申请，由法院来决定是否允许重新鉴定。
可能遇到的法律后果：
- 如果法院最终允许重新鉴定，并且新的鉴定结果与原鉴定结果不同，那么这可能会影响案件的判决结果。因此，在选择重新鉴定时，您应当充分考虑鉴定结果可能对案件产生的影响。
- 如果对方对重新鉴定结果仍然有异议，并且提出了合理的理由和证据，那么法院可能会考虑再次进行鉴定或者采取其他措施来确保案件的公正处理。
总结与建议：
在一家鉴定机构无法对“三期”做出鉴定的情况下，您完全有权委托其他鉴定机构进行鉴定。如果对方不同意，您可以通过法律程序来推动重新鉴定的进行。在实际操作中，建议您选择具有相关资质和经验的鉴定机构，并保留好相关证据。如果您在处理此类问题时遇到任何困难或疑问，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律建议。