工厂不能随意开除员工，否则将构成违法解除劳动合同，需依法承担相应的法律责任，包括支付经济赔偿金。以下从多个角度详细分析：

一、工厂违法开除员工的法律责任

如果工厂无正当理由随意开除员工，即构成违法解除劳动合同。根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条的规定，用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。这意味着，工厂需支付的赔偿金将是经济补偿的二倍。

二、经济补偿的计算方式

经济补偿的计算主要依据《劳动合同法》第四十七条的规定，具体如下：

1. 工作年限与月数计算：

   • 每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。
   • 六个月以上不满一年的，按一年计算。
   • 不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。

2. 月工资的确定：

   • 月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
   • 如果劳动者月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，向其支付经济补偿的年限最高不超过十二年。

举例说明： 假设员工小李在某工厂工作了2年零5个月，其劳动合同解除前十二个月的平均工资为6000元。由于工作年限2年零5个月（按2年半计算），正常情况下经济补偿应为2.5个月工资，即2.5×6000 = 15000元。但因工厂是违法解除劳动合同，所以小李能获得的赔偿金为经济补偿的二倍，即15000×2 = 30000元。

三、工厂合法开除员工的情形

当然，工厂并非在任何情况下都不能开除员工。根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条的规定，工厂在以下情形下可以解除劳动合同，且无需支付经济补偿：

1. 在试用期间被证明不符合录用条件的；
2. 严重违反用人单位的规章制度的；
3. 严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害的；
4. 同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正的；
5. 因劳动合同无效情形被解除的；
6. 被依法追究刑事责任的。

四、员工维权途径与注意事项

如果遇到工厂随意开除的情况，员工可以通过以下途径维护自身权益：

1. 协商解决：首先尝试与用人单位进行协商，要求其支付相应的赔偿金。
2. 申请调解：可以向本单位劳动争议调解委员会、基层人民调解组织或者在乡镇、街道设立的具有劳动争议调解职能的组织申请调解。
3. 申请仲裁：协商或调解不成的，可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。需要注意的是，劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，从当事人知道或者应当知道其权利被侵害之日起计算。在申请仲裁时，员工应提供与工厂存在劳动关系以及工厂无故辞退自己的相关证据。
4. 提起诉讼：对仲裁裁决不服的，除法律另有规定的外，可以向人民法院提起诉讼。

总之，工厂不能随便开除员工，否则需要承担相应的法律责任和经济赔偿责任。员工在遇到此类情况时，应了解自己的合法权益，并通过合法途径积极维权。如果你有具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。