结论前置：公司在特定情形下有权与员工解除劳动关系且不给予经济补偿，但这些情形必须严格符合法律规定，且公司需确保解除程序的合法性和合理性。
一、公司有权不给予赔偿解除劳动关系的法定情形
根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条的规定，公司在以下六种情形下可以解除劳动合同且不支付经济补偿：
试用期内不符合录用条件：
- 公司在员工试用期内，可以基于明确的录用条件（如学历、技能、工作经验等）进行考核。若员工未达标，经评估后可解除合同。例如，若公司招聘时明确要求员工需具备某项专业技能证书，而员工在试用期内未能提供，公司可据此解除合同。
严重违反规章制度：
- 员工若严重违反公司依法制定的规章制度，如旷工、打架斗殴、泄露公司机密等，公司可解除合同。例如，公司规章制度中明确规定连续旷工三天视为严重违纪，员工若连续旷工三天，公司可据此解除合同。
严重失职、营私舞弊：
- 员工因严重失职或营私舞弊行为给公司造成重大损害时，公司有权解除合同。例如，员工因疏忽大意导致公司重要设备损坏，或利用职务之便谋取私利，给公司造成经济损失的，公司可解除合同。
与其他单位建立劳动关系：
- 若员工同时与其他用人单位建立劳动关系，影响本职工作完成或拒不改正的，公司可解除合同。例如，员工在业余时间兼职，但因兼职工作影响本职工作，经公司提出后仍拒不改正的，公司可解除合同。
欺诈、胁迫导致合同无效：
- 员工以欺诈、胁迫手段或乘人之危使公司违背真实意思订立或变更合同的，公司可解除合同。例如，员工在入职时提供虚假学历证书，公司发现后可解除合同。
被依法追究刑事责任：
- 员工因犯罪行为被依法追究刑事责任的，公司可解除合同。例如，员工因盗窃、诈骗等犯罪行为被法院判处刑罚的，公司可解除合同。
二、公司解除劳动关系时需注意的事项
规章制度的合法性与合理性：
- 公司的规章制度必须符合法律法规，内容合理。违法或不合理的条款可能导致解除合同行为无效。例如，公司规章制度中规定“员工不得结婚”，这一条款因违反法律法规而无效。
证据的充分性：
- 解除合同时，公司需提供充分证据证明员工行为符合上述法定情形，并给公司造成了损失。例如，公司需提供员工旷工的考勤记录、严重失职的调查报告等证据。
解除程序的合法性：
- 公司应遵守法定程序，如提前通知员工、听取申辩等。非法解除可能导致赔偿金的支付。例如，公司解除合同前应提前三十日以书面形式通知员工，或额外支付一个月工资作为代通知金。
赔偿责任：
- 若员工行为给公司造成实际损失，公司有权要求员工承担赔偿责任，可通过协商、仲裁或诉讼等方式索赔。例如，员工因严重失职导致公司设备损坏，公司可要求员工赔偿设备维修费用。
非法解除的后果：
- 若公司无法定理由或违反法定程序解除劳动合同，需向员工支付赔偿金，标准通常为每满一年支付一个月工资的二倍。例如，员工在公司工作五年，公司非法解除合同的，需支付十个月工资作为赔偿金。
三、建议与注意事项
- 对于公司而言：在解除劳动合同时，应严格遵守法律规定，确保解除行为的合法性和合理性。在解除合同前，应充分收集证据，遵守法定程序，避免不必要的法律纠纷和经济损失。
- 对于员工而言：若认为公司解除合同的行为违法或不当，可及时收集证据并咨询专业律师的意见，通过协商、仲裁或诉讼等方式维护自己的合法权益。
总结：公司在解除劳动合同时必须严格遵守法律规定，确保解除行为的合法性和合理性。只有在员工存在过错或违法行为导致公司损失，且符合法律规定的特定情形下，公司才有权不支付经济补偿。在任何情况下，公司都应维护双方的合法权益，避免不必要的法律纠纷。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。