要开具外甥与舅舅之间的亲属关系证明，通常可以通过以下途径进行，这里我以一般性的流程来为您详细解答，虽然具体流程可能因地区而异，但大体框架是相似的：

一、准备必要材料

1. 身份证明：外甥和舅舅的有效身份证件，如身份证、户口本等。这些证件是证明个人身份的基础材料。
2. 亲属关系证明申请表：部分地区或机构可能要求填写专门的申请表，以明确申请目的和提供必要信息。
3. 其他辅助材料：如出生证明（如果舅舅是外甥的直系血亲且出生证明上有相关记录）、家族族谱（如果有的话，可以作为辅助证明材料）、居委会或村委会的证明信（说明双方的关系情况）等。

二、选择办理机构

1. 户籍地派出所：这是最常见的办理机构。因为户籍地派出所通常保存有居民的户籍档案，能够直接查询到并证明亲属关系。
2. 居委会或村委会：在某些情况下，如果户籍地派出所无法直接出具证明，或者需要更详细的社区关系证明，居委会或村委会也可以出具相关证明。

三、提交申请并等待审核

1. 提交申请：将准备好的材料提交给选定的办理机构，并按照机构的要求填写相关申请表。
2. 等待审核：办理机构会对提交的材料进行审核，确认材料的真实性和完整性。审核时间可能因地区而异，一般需要几个工作日到几周不等。

四、领取证明

1. 审核通过：如果审核通过，办理机构会出具亲属关系证明，并通知申请人前来领取。
2. 领取方式：根据办理机构的要求，可以选择亲自前往领取，或者通过邮寄等方式接收证明。

五、特殊情况处理

• 如果舅舅已经去世：可能需要提供舅舅的死亡证明，以及能够证明外甥与舅舅之间亲属关系的其他材料，如舅舅的兄弟姐妹的证言等。
• 如果户籍档案不完整或丢失：可能需要通过其他途径来证明亲属关系，如寻找家族中的长辈进行证言，或者通过DNA鉴定等方式来确认亲属关系。

六、地区差异说明

• 不同地区对于亲属关系证明的办理流程和要求可能有所不同。例如，有些地区可能开通了线上办理服务，如重庆的“警快办”微信公众号，可以方便快捷地在线申请和领取证明。
• 因此，在办理前最好先咨询当地的相关部门或机构，了解具体的办理流程和要求。

示例（以重庆地区为例）：

如果您在重庆地区，可以通过“警快办”微信公众号来开具亲属关系证明。具体步骤如下：

1. 关注“警快办”微信公众号。
2. 点击底部菜单栏“警快办”，选择“其他户口登记服务事项”里的“开具户籍类证明”。
3. 点击“开具亲属关系证明”，并按照页面提示填写相关信息和上传必要材料。
4. 提交申请后等待审核，审核通过后可以在线领取或选择邮寄方式接收证明。

希望以上解答能够帮助您顺利开具外甥与舅舅之间的亲属关系证明。如果您在办理过程中遇到任何问题或需要进一步的帮助，请随时咨询当地的相关部门或机构。