结论：
- 法定节假日不可调休，必须支付加班工资：雇主在法定节假日安排劳动者工作的，不能通过调休来替代支付加班工资，必须按照法律规定支付不低于工资百分之三百的工资报酬。
- 与法定节假日连休的休息日可调休：对于与法定节假日连休的休息日，雇主在经过与劳动者协商后，可以进行调休，但需确保劳动者的合法权益不受侵害。
详细分析：
法定节假日不可调休的法律背景：
- 根据《中华人民共和国劳动法》第四十四条的规定，法定节假日是劳动者依法享受的休息日，具有不可替代性。雇主在法定节假日安排劳动者工作的，必须支付不低于工资百分之三百的加班工资，这是劳动者的合法权益，且不能用调休来替代。
- 法定节假日如新年、春节、清明节、劳动节、端午节、中秋节、国庆节等，是基于国家对劳动者休息权益的特殊保障而设立的，雇主应严格遵守相关法律法规，确保劳动者的休息权益得到充分保障。
与法定节假日连休的休息日可调休的情况：
- 在实际中，法定节假日往往会与休息日（通常指周六和周日）连在一起形成较长的假期。对于这部分与法定节假日连休的休息日，雇主在经过与劳动者协商后，可以进行调休。
- 调休需确保劳动者的合法权益不受侵害，例如，调休后应保证劳动者有足够的休息时间，且调休不得违反法律法规的强制性规定。
调休与加班工资的区别与联系：
- 调休通常适用于周末加班的情况，即雇主在休息日安排劳动者工作后，在其他工作日给予补休。若不能安排补休，则需支付不低于工资百分之二百的加班工资。
- 法定节假日的加班则必须支付不低于工资百分之三百的加班工资，且不能用调休来替代。这是法定节假日加班与周末加班在法律上的主要区别。
劳动者的权益保护与维权途径：
- 如果雇主违反上述规定，在法定节假日安排调休而不支付加班工资，劳动者可以与雇主协商解决。协商不成的，劳动者可以向劳动监察部门投诉或者申请劳动仲裁来维护自己的合法权益。
- 劳动者在维权过程中，应保留好相关证据，如加班记录、工资条等，以便在需要时提供证明。
建议：
- 对于雇主而言，应严格遵守相关法律法规，确保在法定节假日安排劳动者加班时，按照法律规定支付加班费，而不是试图通过调休来规避责任。
- 对于劳动者而言，如遇到雇主未按规定支付加班费或存在其他劳动权益纠纷，应及时向我咨询，以维护自己的合法权益。
示例说明：
假设某雇主在春节期间（法定节假日）安排劳动者加班，但未支付加班工资，而是提出在春节后安排调休。根据法律规定，这种做法是不合法的。劳动者有权要求雇主支付不低于工资百分之三百的加班工资，或者拒绝调休并坚持要求支付加班工资。如果雇主拒绝支付，劳动者可以向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁来维护自己的权益。