结论：未成年人在家长不知情的情况下使用家长手机购买游戏道具要求退款被拒绝，家长可以通过与游戏公司协商、向消费者协会投诉或向法院起诉等途径来维护自身权益。具体处理方式需根据未成年人的年龄、购买金额以及家长是否尽到监护责任等因素来综合判断。
详细分析：
未成年人的年龄与民事行为能力：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，八周岁以下的未成年人为无民事行为能力人，其实施的民事法律行为无效。因此，如果购买游戏道具的未成年人未满八周岁，其购买行为是无效的，家长有权要求游戏公司退款。
- 八周岁以上的未成年人为限制民事行为能力人，其实施的民事法律行为经法定代理人同意或者追认后有效。如果购买金额较大，超出了未成年人的认知能力范围，且未经家长同意或追认，家长同样可以要求退款。
家长是否尽到监护责任：
- 家长作为未成年人的监护人，有义务对未成年人的财产和行为进行管理和监督。如果家长能够证明自己已经尽到了合理的监护责任，比如手机设置了密码、支付密码等安全措施，但未成年人仍然通过其他方式获取了支付权限，那么家长在要求退款时可能会得到更多的支持。
- 如果家长未能尽到监护责任，比如手机未设置密码、支付密码被未成年人知晓等，那么游戏公司可能会以家长存在过错为由拒绝退款。但即便如此，如果购买行为确实超出了未成年人的认知能力范围，家长仍然可以尝试通过其他途径维权。
退款的具体途径：
- 与游戏公司协商：家长可以先尝试与游戏公司联系，说明情况并要求退款。在协商过程中，家长可以提供相关证据，如购买记录、未成年人年龄证明等，以增加退款的成功率。
- 向消费者协会投诉：如果与游戏公司协商无果，家长可以向当地的消费者协会投诉。消费者协会会介入调查，并根据调查结果进行调解或提出处理意见。
- 向法院起诉：如果以上途径均无法解决问题，家长还可以考虑向法院起诉。在起诉过程中，家长需要提供充分的证据证明购买行为是未成年人所为，且未经家长同意或追认。法院将根据事实和法律规定作出判决。
建议与提醒：
- 家长在日常生活中应加强对未成年人的监护和教育，引导他们树立正确的消费观念，避免类似事件的发生。
- 如果发生未成年人未经允许购买游戏道具的情况，家长应及时与游戏公司联系并保留好相关证据，以便在后续维权过程中使用。
- 在处理此类纠纷时，家长应保持冷静和理性，通过合法途径维护自身权益，避免采取过激行为或违法手段。
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