公司开除员工不给一分钱补偿是否合法，这完全取决于开除的具体原因、情况以及是否符合《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定。以下是从不同角度进行的详细分析：

1. 无需支付赔偿或补偿的合法开除情形：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条，若员工存在试用期间不符合录用条件、严重违反规章制度、严重失职或营私舞弊给公司造成重大损害、同时与其他单位建立劳动关系且对本单位工作造成严重影响或拒不改正、劳动合同无效（如因欺诈、胁迫等情形导致）、被依法追究刑事责任等情形，公司可以解除劳动合同且无需支付任何赔偿或补偿。
   • 举例：如果员工因盗窃公司财物被公安机关立案侦查并最终被法院判处刑罚，公司有权依据法律规定开除该员工，且无需支付任何补偿。

2. 需要支付经济补偿的合法开除情形：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十条、第四十一条，若员工因患病或非因工负伤医疗期满后不能从事原工作也不能从事公司另行安排的工作、不能胜任工作经过培训或调整工作岗位后仍不能胜任、劳动合同订立时的客观情况发生重大变化致使合同无法履行且双方未能就变更合同内容达成协议，或者公司因经营困难、重整等原因需要裁减人员，公司解除劳动合同时需支付经济补偿。
   • 经济补偿的计算方法：依据《中华人民共和国劳动合同法》第四十七条，经济补偿按员工在公司工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。若员工月工资高于公司所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，且支付经济补偿的年限最高不超过十二年。
   • 举例：如果员工在公司工作了5年，月工资为8000元（假设低于当地上年度职工月平均工资的三倍），因公司经营困难被裁减，则公司应支付该员工5个月工资作为经济补偿，即40000元。

3. 需要支付赔偿金的违法开除情形：

   • 如果公司没有合法的理由或未遵循法定的程序开除员工，即属于违法解除劳动合同。在这种情况下，员工可以要求公司支付赔偿金，赔偿金的标准是经济补偿标准的二倍。
   • 举例：如果公司无正当理由突然开除一名工作了3年的员工，且该员工月工资为6000元（假设低于当地上年度职工月平均工资的三倍），则公司应支付该员工6个月工资作为赔偿金，即36000元。

建议与行动指南：

• 如果您被公司开除且未获得任何补偿，首先应了解公司开除您的具体原因和依据。
• 如果您认为公司的开除行为违法或不合理，可以与公司进行沟通协商，要求公司支付应得的补偿或赔偿。
• 若协商无果，您可以向当地劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，甚至提起诉讼来维护自己的合法权益。
• 在整个过程中，保留好所有与工作、开除、补偿相关的证据材料至关重要，这将直接影响到您的权益能否得到有效维护。

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