针对您提出的“员工做兼职受伤，原单位是否有义务申请工伤认定”的问题，这主要取决于员工与兼职单位之间的法律关系以及伤害发生的具体情况。以下是我为您提供的详细解答：
一、法律关系判定
劳动关系：
- 如果员工与兼职单位签订了书面劳动合同，或者形成了事实劳动关系（如按月支付工资、提供劳动工具、有固定的工作时间和地点等），那么员工在兼职期间受伤，且符合《工伤保险条例》规定的情形（如在工作时间和工作场所内因工作原因受到事故伤害），则可被认定为工伤。
- 在这种情况下，兼职单位（而非原单位）有义务在事故发生之日起30日内向当地社会保险行政部门申请工伤认定，并承担相应的工伤保险责任。
劳务关系：
- 如果员工与兼职单位之间仅为临时性劳务关系（如一次性劳务报酬、无固定工作时间和地点等），则通常不适用工伤认定。
- 在这种情况下，员工受伤不能认定为工伤，但可以根据双方过错或第三方责任来寻求赔偿。例如，如果是因为兼职单位的过错导致员工受伤，员工有权要求兼职单位承担相应的赔偿责任。
二、特殊情形处理
双重劳动关系：
- 如果员工同时与两家用人单位建立劳动关系，且在兼职单位受伤，那么根据《关于实施〈工伤保险条例〉若干问题的意见》第一条的规定，兼职单位应承担工伤保险责任。原单位在此情况下没有义务为员工的兼职受伤申请工伤认定。
非全日制用工：
- 对于非全日制用工（如每日工作时间不超过4小时），如果满足劳动关系的要件，员工在兼职期间受伤仍可被认定为工伤，并由兼职单位承担工伤保险责任。
三、操作建议
明确法律关系：
- 在处理兼职受伤问题时，首先应明确员工与兼职单位之间的法律关系是劳动关系还是劳务关系。这可以通过查看劳动合同、工资支付记录、工作指令等证据来判断。
及时申报工伤：
- 如果员工与兼职单位之间存在劳动关系，且受伤符合工伤认定条件，兼职单位应及时向当地社会保险行政部门申请工伤认定，以便员工能够享受相应的工伤保险待遇。
寻求法律援助：
- 如果在处理兼职受伤问题时遇到复杂情况或争议，建议员工或兼职单位寻求法律援助或咨询专业律师，以便更好地维护自身权益。
综上所述，员工做兼职受伤时，原单位是否有义务申请工伤认定主要取决于员工与兼职单位之间的法律关系。如果存在劳动关系且符合工伤认定条件，则由兼职单位承担工伤保险责任并申请工伤认定；如果不存在劳动关系，则根据双方过错或第三方责任来寻求赔偿。