当公司辞退员工时，赔偿问题主要依据《中华人民共和国劳动合同法》及相关法律法规进行。以下是对此问题的详细解答：

一、合法解除劳动合同的情形及补偿标准

根据《劳动合同法》，公司在特定情形下可以合法解除劳动合同，并需支付经济补偿金。这些情形包括：

1. 协商解除：公司与员工协商一致解除劳动合同。
2. 无过失性辞退：例如，员工患病或非因工负伤医疗期满后不能从事原工作也不能从事另行安排的工作；员工不能胜任工作，经过培训或调岗后仍不能胜任；劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使合同无法履行，且双方未能就变更合同达成协议等。
3. 经济性裁员：因企业破产重整、生产经营严重困难、转产或重大技术革新等原因需要裁减人员。
4. 其他法定情形：如公司依法宣告破产、被吊销营业执照、责令关闭、撤销或提前解散等。

补偿标准：按照员工在本公司工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向员工支付半个月工资的经济补偿。月工资是指员工在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。若员工月工资高于当地职工月平均工资三倍，则按三倍数额封顶计算，且补偿年限最高不超过十二年。

二、违法解除劳动合同的情形及赔偿标准

违法解除情形：包括公司未按照法律规定程序解除合同、不符合法定解除条件而解除合同等。例如，公司未提前通知工会即解除劳动合同（若已建立工会），可能构成违法解除。

赔偿标准：若公司违法解除或终止劳动合同，应当依照经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。计算公式为：经济补偿金×2=赔偿金。

三、特殊情形的处理

1. 试用期辞退：若员工在试用期间被证明不符合录用条件，公司可解除劳动合同且无需支付经济补偿金，但需承担举证责任。
2. 过错性辞退：如员工存在严重失职、营私舞弊等行为给公司造成重大损害，公司可立即解除合同且无需补偿。
3. 代通知金：仅适用于公司以“非过失性辞退”和“经济性裁员”为由解除合同但未提前三十日书面通知的情形，标准为员工上一个月的工资。

四、法律救济途径

若员工对辞退决定或补偿金额有异议，可通过以下方式维权：

1. 协商解决：优先与公司沟通协商，尝试达成和解协议。
2. 劳动仲裁：向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，仲裁时效为一年。
3. 诉讼维权：对仲裁结果不服，可在十五日内向人民法院提起诉讼。
4. 强制执行：若公司逾期不支付赔偿，员工可申请法院强制执行。

五、注意事项

• 证据收集：员工应保留劳动合同、工资单、解雇通知书等证据材料，以备不时之需。
• 时效要求：注意仲裁时效限制，及时主张权利，避免错过维权时机。
• 专业咨询：对于复杂案件，建议寻求律师协助，确保权益充分实现。

综上所述，公司辞退员工的赔偿问题涉及多个方面，员工应了解自己的权益和法律途径，以便在必要时维护自己的合法权益。