老板司机被开除的赔偿问题需根据开除原因及劳动合同履行情况综合判断，具体赔偿方式如下：

1. 若开除属于违法解除劳动合同
   根据《劳动合同法》第48条、87条，用人单位违法解除劳动合同的，需按经济补偿标准的2倍支付赔偿金。经济补偿标准为：

   • 工作每满1年支付1个月工资；
     
   • 6个月以上不满1年的按1年计算；
     
   • 不满6个月的支付半个月工资。
     示例：司机工作3年，月工资8000元，违法解除需赔偿：8000×3×2=48000元。

2. 若开除属于合法解除劳动合同
   用人单位无需支付赔偿金，但需支付经济补偿金（如因客观情况重大变化、经济性裁员等合法情形解除）。经济补偿金计算方式同上，但无需乘以2。
   示例：司机工作2年，月工资6000元，合法解除需支付：6000×2=12000元。

3. 若开除属于无需支付补偿的情形
   根据《劳动合同法》第39条，若司机存在以下行为，用人单位可合法解除且无需支付补偿：

   • 严重违反用人单位规章制度；
     
   • 严重失职、营私舞弊给用人单位造成重大损害；
     
   • 被依法追究刑事责任；
     
   • 试用期不符合录用条件等。
     注意：用人单位需对解除理由的合法性承担举证责任，否则可能被认定为违法解除。

4. 其他可能涉及的赔偿或补偿

   • 未休年假工资：若司机未休完当年年假，用人单位需按日工资的300%支付未休年假工资（含正常工资部分）。
     
   • 加班工资：若存在未支付的加班工资，司机可主张补发。
     
   • 未签劳动合同双倍工资：若未签订书面劳动合同，司机可主张自用工次月起至第12个月的双倍工资差额。

建议行动：

1. 核实开除的具体理由及证据（如书面通知、规章制度等）；
   
2. 收集劳动合同、工资条、考勤记录等证据；
   
3. 根据开除性质计算应得赔偿或补偿；
   
4. 若与用人单位协商无果，可向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁。
   

如有进一步疑问或需具体计算赔偿金额，可直接向我咨询。