结论：如果一个人被刑事拘留一个月后无罪释放，他确实有权依法申请国家赔偿。以下是详细的解释和申请流程：
赔偿的法律依据
《中华人民共和国国家赔偿法》第二十一条：明确规定，对公民采取拘留措施后应当给予国家赔偿的，作出拘留决定的机关为赔偿义务机关。这意味着，如果公安局或其他执法机关作出了拘留决定，并且该拘留被后续认定为错误或无罪，那么该机关就需要承担赔偿责任。
《中华人民共和国国家赔偿法》第三十三条：规定了侵犯公民人身自由的赔偿金计算标准，即每日赔偿金按照国家上年度职工日平均工资计算。这为赔偿金额的确定提供了明确的法律依据。
赔偿范围和标准
人身自由赔偿金：
- 适用情形：当公民的人身自由因错误刑事拘留而受到侵犯时，受害人有权获得赔偿。
- 赔偿标准：每日赔偿金按国家上年度职工日平均工资计算。例如，若上年度职工日平均工资为300元，当事人被错误拘留30天，则赔偿金数额为300元/天 × 30天 = 9000元。
精神损害抚慰金（如适用）：
- 适用情形：若刑事拘留行为导致受害人精神损害，尤其是造成严重后果（如精神障碍、自杀未遂等），应支付精神损害抚慰金。
- 赔偿标准：虽无统一标准，但人民法院赔偿委员会确定的具体金额原则上不超过人身自由赔偿金总额的35%，且最低不少于一千元。不过，并非所有无罪释放的案件都会涉及精神损害抚慰金的赔偿，这需要根据具体案情和受害人的精神损害程度来判断。
赔偿申请流程
确定赔偿义务机关：
- 通常情况下，如果是公安局作出的拘留决定，那么该公安局就是赔偿义务机关。
递交赔偿申请：
- 申请时间：赔偿请求人应在知道或应当知道其权益被侵犯之日起两年内提出赔偿申请，但被羁押期间不计入此时效。
- 申请方式：赔偿请求人应向赔偿义务机关递交书面申请书，内容包括受害人的基本信息、被错误拘留的事实、请求赔偿的理由和依据、具体的赔偿要求及计算方式等。
- 所需材料：申请书应附有相关证据，如拘留通知书、释放证明书、不起诉决定书等，以证明被错误拘留及无罪释放的事实。
赔偿义务机关处理：
- 处理时限：赔偿义务机关应在收到申请之日起两个月内作出是否赔偿的决定。
- 协商与决定：赔偿义务机关应充分听取赔偿请求人的意见，并可与其就赔偿方式、项目和数额进行协商。若决定赔偿，应制作赔偿决定书并送达赔偿请求人；若决定不予赔偿，应书面通知并说明理由。
后续救济途径：
- 复议程序：若赔偿义务机关未在规定期限内作出决定，或赔偿请求人对赔偿决定有异议，可在法定时效内向赔偿义务机关的上一级机关申请复议。
- 法院赔偿委员会决定程序：若复议结果仍不满意，赔偿请求人可向复议机关所在地的同级人民法院赔偿委员会申请作出赔偿决定。
注意事项
- 在整个理赔过程中，保持证据的完整性和真实性至关重要。务必妥善保管所有与案件相关的文件和证据，以便在申请赔偿时提供有力支持。
- 若对赔偿流程或法律条款有疑问，或者需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。我会根据你的具体情况，提供详细的法律建议和指导。
总结：被刑拘一个月后无罪释放的当事人有权申请国家赔偿，但需遵循法定程序并提供充分证据支持其赔偿请求。在必要时，我会为你提供专业的法律帮助，确保你的权益得到妥善维护。