结论概述：结合新闻背景，老人因食用剩菜患上李斯特菌性脑膜炎，家属能否追责食品提供者或销售者，需根据具体情况判断。若能证明食品提供者或销售者存在过错，如食品受到李斯特菌污染且未尽到安全保障义务，则家属有权追责；反之，则可能难以追责。以下从多个角度进行详细分析。
一、法律关系分析
侵权责任关系：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千一百六十五条：“行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。”在此事件中，若食品提供者或销售者提供的食品受到李斯特菌污染，且未尽到合理的安全保障义务（如未妥善保存、未明确告知食用风险等），导致老人食用后患病，则构成侵权，应承担相应的赔偿责任。
合同关系（如存在）：
- 若老人或其家属与食品提供者或销售者之间存在买卖合同关系，且合同中明确约定了食品的质量标准或安全保障义务，而食品提供者或销售者违反了这些约定，导致老人患病，则家属还可以依据合同法的相关规定追究其违约责任。但在此类事件中，侵权责任与合同责任可能存在竞合，家属需根据具体情况选择最有利的法律途径进行追责。
二、关键法律要素分析
过错认定：
- 食品提供者或销售者是否存在过错，是判断其是否应承担责任的关键。过错可能包括未尽到合理的安全保障义务、未遵守食品安全标准、未及时处理过期或变质食品等。在此事件中，若能证明食品在提供或销售时已受到李斯特菌污染，且食品提供者或销售者未采取有效措施防止污染扩散或未明确告知食用风险，则可认定其存在过错。
因果关系认定：
- 需证明老人患病与食用剩菜之间存在直接的因果关系。这通常需要医学证据支持，如医院出具的诊断证明、病原学检测报告等。在此事件中，若医学证据表明老人患上的李斯特菌性脑膜炎确实是由食用剩菜引起的，则可认定存在因果关系。
损害后果认定：
- 损害后果包括老人因患病而遭受的身体伤害、医疗费用支出、误工损失等。家属需提供相关证据证明这些损害后果的存在及其与侵权行为之间的关联性。
三、新闻背景下的法律分析
- 新闻中提到，老人因食用放在冰箱里的剩菜而患上李斯特菌性脑膜炎。这提示我们，冰箱并非保险箱，食物在冰箱中也可能受到细菌污染。食品提供者或销售者有义务确保提供的食品符合食品安全标准，并在必要时向消费者提供食用建议或警示。
- 若食品在提供或销售时已受到李斯特菌污染，且食品提供者或销售者未采取有效措施防止污染扩散或未明确告知食用风险，则其应承担相应的法律责任。
四、建议与启示
对家属的建议：
- 家属应尽快收集相关证据，如医院诊断证明、病原学检测报告、购物凭证等，以证明食品提供者或销售者的过错及与老人患病之间的因果关系。
- 家属可以与食品提供者或销售者协商赔偿事宜，若协商无果，则可向法院提起诉讼或向相关行政部门投诉。
对公众的启示：
- 公众应提高食品安全意识，注意食物的保存和食用安全。避免食用过期或变质食品，尤其是高风险食品如剩菜、生食等。
- 在购买食品时，应选择正规渠道和信誉良好的商家，并仔细查看食品的生产日期、保质期等信息。
对食品提供者或销售者的警示：
- 食品提供者或销售者应严格遵守食品安全标准，确保提供的食品符合安全要求。
- 应加强食品安全管理，定期对食品进行检测和清理，防止过期或变质食品流入市场。
- 在必要时应向消费者提供食用建议或警示，以降低食品安全风险。
综上所述，家属能否追责食品提供者或销售者，需根据具体情况判断。若能证明食品提供者或销售者存在过错且与老人患病之间存在因果关系，则家属有权追责。在处理此类事件时，建议家属及时收集证据并咨询专业律师以维护自身合法权益。