结论前置：业主在特定情况下可以起诉新业委会不执行业主大会决议的行为，但通常需先尝试通过业主大会或行政投诉等途径解决问题。若这些途径无效且新业委会的行为确实侵害了业主的合法权益，业主可依法向人民法院提起诉讼。

详细分析：

一、法律依据

根据《中华人民共和国民法典》第二百八十条的规定，业主大会或者业主委员会的决定，对业主具有法律约束力。同时，若业主大会或者业主委员会作出的决定侵害业主合法权益的，受侵害的业主可以请求人民法院予以撤销。此外，《物业管理条例》第十九条也明确规定，业主大会、业主委员会应当依法履行职责，不得作出与物业管理无关的决定，不得从事与物业管理无关的活动。若业主大会、业主委员会作出的决定违反法律、法规的，物业所在地的区、县人民政府房地产行政主管部门或者街道办事处、乡镇人民政府，应当责令限期改正或者撤销其决定，并通告全体业主。

二、可以起诉的情形

1. 新业委会不执行决议且侵害业主权益：

   • 若新业委会不执行业主大会的决议，且该决议内容合法合规，不执行的行为直接侵害了业主的合法权益（如影响小区公共设施的维修、改造等），业主有权起诉要求新业委会执行决议或赔偿损失。

2. 新业委会执行决议程序违法：

   • 若新业委会在执行决议过程中存在程序违法的情况（如未提前通知业主、未经过法定比例的业主表决同意等），业主可起诉要求撤销该执行行为或确认其无效。

三、起诉前的替代解决途径

在直接起诉之前，业主应考虑以下替代解决途径：

1. 召集业主大会或业主代表大会：

   • 业主可以召集业主大会或业主代表大会，提出对新业委会不执行业主大会决议的质疑，并要求其改进或解释。若新业委会无法给出合理答复或拒绝改进，业主可通过业主大会罢免不称职的委员并选举新委员。

2. 向行政主管部门投诉：

   • 业主可以向物业所在地的街道办事处或乡镇人民政府投诉新业委会的不作为或违法行为。这些部门有责任监督业主委员会的工作，并可能采取措施帮助解决问题，如责令新业委会限期改正或撤销其决定。

四、起诉的流程

若上述途径均无法解决问题，且业主认为新业委会的行为已侵犯其合法权益，可按以下流程起诉：

1. 准备材料：

   • 撰写起诉状，明确诉讼请求、事实和理由，并提供相关证据材料，如业主大会的决议文件、新业委会不执行决议的证据、业主权益受损的证明等。

2. 确定管辖法院：

   • 通常向小区所在地的基层人民法院提起诉讼。

3. 立案和审理：

   • 法院收到起诉状和材料后进行立案审查。若符合立案条件，法院将受理案件并安排开庭审理。双方可在审理过程中举证、质证和辩论。

五、实际案例与启示

• 案例一：某小区业主大会决议对小区公共区域进行改造，但新业委会以资金不足为由拒绝执行。部分业主认为改造是必要的，且资金可以通过其他方式筹集，于是起诉新业委会要求执行决议。法院经审理认为，新业委会的行为侵害了业主的合法权益，判决新业委会执行决议。
• 启示：业主在认为新业委会的行为侵害其合法权益时，应积极收集证据并依法维权。同时，业主也应理解新业委会可能面临的困难和挑战，通过协商和沟通寻求解决方案。

六、总结与建议

虽然业主在特定情况下可以起诉新业委会不执行业主大会决议的行为，但起诉前应先尝试通过业主大会或行政投诉等途径解决问题。若这些途径无效且业主的合法权益确实受到侵害，业主可依法向人民法院提起诉讼以维护自身权益。在整个过程中，建议业主保持冷静和理性，依法依规进行维权活动。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。