针对您提出的“教师抑郁症辞职用人单位怎么处理”这一问题，我会从法律和实际操作两个层面为您详细解答。
首先，从法律层面来看，教师因抑郁症提出辞职，这属于劳动者主动提出解除劳动合同的情形。根据《劳动合同法》的相关规定，以及您提供的参考信息中关于“哪些情形下单位解除劳动合同不需要支付经济补偿金”的内容，我们可以明确以下几点：
劳动者主动辞职：如果教师是主动提出辞职，并且用人单位与教师双方协商一致解除劳动合同，那么用人单位在这种情况下是不需要支付经济补偿金的。这一点与参考信息中“劳动者提出，双方协商一致解除劳动合同的”情形相吻合。
抑郁症与劳动合同解除：抑郁症本身并不构成用人单位解除劳动合同的法定理由，除非教师的抑郁症状况严重到无法继续履行劳动合同，且这一状况是在劳动合同订立后发生的，且经用人单位与劳动者协商未能就变更劳动合同达成协议。但在此情况下，也是由用人单位提出解除劳动合同，并可能需要支付经济补偿金（除非符合其他不需支付经济补偿金的条件）。然而，在您描述的场景中，是教师主动提出辞职，所以这一点不直接适用。
接下来，从实际操作层面来看，用人单位在处理教师因抑郁症辞职的情况时，应当注意以下几点：
尊重与理解：首先，用人单位应当表现出对教师的尊重和理解，认识到抑郁症是一种严重的心理健康问题，需要得到适当的关注和治疗。
协商处理：用人单位可以与教师进行协商，了解其辞职的具体原因和需求，尽量在双方都能接受的基础上达成协议。这包括可能的离职时间、工作交接、薪资结算等事项。
提供必要的支持：如果教师需要，用人单位可以提供一定的心理支持或资源，如推荐专业的心理咨询机构或提供相关的心理健康资料。
遵守法律法规：在整个处理过程中，用人单位必须严格遵守相关的法律法规，确保教师的合法权益得到保障。这包括但不限于劳动合同的解除程序、经济补偿金的支付（如果适用）等。
综上所述，当教师因抑郁症提出辞职时，用人单位应当首先尊重教师的决定，并与其进行协商处理。在协商一致的情况下，双方可以解除劳动合同，且用人单位通常不需要支付经济补偿金（除非符合其他特定条件）。同时，用人单位应当提供必要的支持，并确保整个处理过程符合法律法规的要求。