针对您提出的“出租车被承租人非法抵押怎么处理”的问题，这是一个涉及法律责任与具体处理流程的复杂情况。以下是我为您提供的详细解答：
一、法律责任分析
承租人（驾驶员）的民事法律责任：
- 违约责任：根据您与承租人签订的租赁或承包经营合同，承租人非法抵押车辆显然违反了合同约定。依据《民法典》的相关规定，承租人需承担继续履行、采取补救措施或赔偿损失等违约责任。您有权要求承租人立即解除非法抵押，并赔偿因非法抵押给您造成的所有损失。
- 抵押权问题：由于承租人并非车辆的所有权人，其抵押行为属于无权处分。若抵押权人明知或应知承租人无权处分仍接受抵押，或未对车辆权属情况进行合理审查，则该抵押行为无效。抵押权人的损失应向承租人主张赔偿。
承租人可能承担的刑事法律责任：
- 诈骗罪：如果承租人以非法占有为目的，通过虚构事实或隐瞒真相的方式将车辆抵押以骗取财物，且数额较大，那么其行为可能构成诈骗罪。根据《刑法》的相关规定，诈骗公私财物数额较大的，将面临三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处罚金的处罚；情节严重者，刑罚将更为严厉。
行政法律责任：
- 交通运输管理部门的处罚：非法抵押出租车还违反了出租汽车行业的管理规定。交通运输管理部门有权对承租人给予警告、罚款、暂扣或吊销从业资格证等行政处罚。
二、具体处理流程
立即采取行动：
- 联系承租人：首先，您应立即联系承租人，要求其立即归还车辆并解除非法抵押。同时，明确告知其非法抵押的法律后果，以促使其主动配合解决问题。
- 报警处理：如果承租人拒绝归还车辆或无法联系到承租人，您应立即向公安机关报警。公安机关将依据《民法典》的相关规定处理侵权行为，并协助您追回车辆。
通过法律途径解决：
- 咨询专业律师：在处理此类复杂法律问题时，建议您咨询专业律师的意见。律师将协助您通过法律途径追回车辆，并追究承租人的法律责任。
- 起诉至法院：如果协商无果，您可以向法院提起诉讼，要求确认抵押无效，并要求承租人承担违约责任。在起诉过程中，您需要提供充分的证据来支持您的主张。
追回车辆及损失赔偿：
- 申请强制执行：如果法院判决后承租人仍未履行义务，您可以向法院申请强制执行，以追回车辆。
- 要求赔偿损失：除了追回车辆外，您还可以要求承租人赔偿因非法抵押给您造成的租金损失、车辆价值贬损等所有损失。
公司内部处理与预防措施：
- 内部调查与处理：您应展开内部调查，收集相关证据，并与承租人进行沟通协商，要求其配合解除非法抵押并赔偿损失。
- 加强监管与预防：为了避免类似问题再次发生，您应加强对车辆的监管，确保车辆的安全。同时，在签订合同时应明确约定车辆用途、租赁期限等关键条款，并考虑安装定位设备等技术手段来实时掌握车辆的使用情况。
三、综合建议
出租驾驶员非法抵押出租车是严重的违法行为，不仅损害了您的合法权益，也可能对乘客安全和社会秩序造成不良影响。因此，我建议您在发现非法抵押行为时立即采取有效措施维护自身权益，并通过法律途径追究承租人的责任。同时，加强预防措施也是避免类似问题再次发生的关键。希望以上解答能对您有所帮助。