结论：劳动合同补偿协议私自盖公章的合法性不能一概而论，需根据具体情况判断。若公章使用符合公司规定且协议内容合法，则可能合法；若公章被滥用或协议内容违法，则不合法。

分析如下：

1. 公章使用的合法性：

   • 公司规定：首先，需要考察公司内部对于公章使用的规定。如果公司有明确的公章使用流程，且该流程被严格遵守，比如公章的使用需要经过特定审批程序，那么私自盖公章可能违反公司规定，进而影响协议的合法性。
   • 授权情况：如果盖公章的行为得到了公司相关负责人的明确授权，或者是在紧急情况下为了公司利益而采取的必要措施，且事后得到了公司的追认，那么这种行为可能被视为合法。

2. 协议内容的合法性：

   • 内容合规：即使公章的使用在形式上没有问题，协议的内容也必须符合法律法规的规定。如果协议内容存在违法之处，比如违反了劳动法的相关规定，那么该协议将无效，公章的使用也就失去了其合法性基础。
   • 双方意愿：协议应当是双方真实意愿的表示。如果一方在签订协议时存在欺诈、胁迫等情形，导致另一方在违背真实意愿的情况下签订了协议，那么该协议也可能被撤销或认定为无效。

3. 法律后果：

   • 公司责任：如果公章被私自使用且协议内容违法，公司可能需要承担相应的法律责任，包括但不限于赔偿损失、承担违约责任等。
   • 个人责任：对于私自使用公章的个人，如果其行为构成了违法或犯罪，比如滥用职权、伪造公司文件等，那么该个人可能需要承担刑事责任或民事责任。

建议：

• 公司层面：公司应建立健全的公章管理制度，明确公章的使用流程、审批权限和责任追究机制，以防止公章被滥用。
• 个人层面：个人在签订劳动合同时应谨慎对待，确保协议内容合法合规，并避免在未经授权的情况下使用公司公章。如果发现公章被私自使用或协议内容存在问题，应及时向公司报告并寻求法律帮助。

特殊情况说明：

• 如果劳动合同补偿协议是在双方平等自愿、协商一致的基础上签订的，且公章的使用符合公司规定和法律法规的要求，那么该协议是合法的。
• 如果公章被私自使用且协议内容存在违法之处，或者签订协议时存在欺诈、胁迫等情形，那么该协议可能无效或被撤销。

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