在双方未签订书面合同的情况下，您仍然有途径通过仲裁来解决纠纷，但关键在于确保存在有效的仲裁协议，并且您能够充分收集相关证据来证明双方的实际合同关系以及纠纷的具体事实。以下是一个详细且有条理的解答，帮助您了解如何申请仲裁以及可能的结果：
一、确认仲裁协议的存在
检查合同文件：尽管没有正式的书面合同，但您应仔细检查双方往来的所有文件、邮件、聊天记录等，看是否存在有效的仲裁协议条款。这个条款需要明确约定将争议提交给某个具体的仲裁机构进行仲裁，并且符合法律规定的有效条件。
事后达成仲裁协议：如果事先没有仲裁协议，双方也可以在发生纠纷后协商签订一个仲裁协议，然后依据这个协议去申请仲裁。
二、全面收集证据
在无书面合同的情况下，证据的收集显得尤为重要。您应尽可能全面地收集以下几类证据：
交易凭证：如发票、收据、转账记录等，这些能够证明双方之间存在金钱往来。
履行凭证：送货单、收货单、验收单等，这些能够证明一方已经履行了合同义务。
通讯记录：短信、微信聊天记录、电子邮件等，这些可能包含合同的主要条款以及交易协商的过程。
证人证言：如果有了解双方交易情况的证人，他们的证言也可以作为证据。
其他相关证据：根据具体情况，还可能需要收集其他能够证明双方实际合同关系的证据，如劳动关系证据（工资支付记录、银行转账记录、工作任务分配记录、同事证言等）。
三、选择并确定仲裁机构
根据纠纷的性质和所在地的法律法规，您需要选择一个适当的仲裁机构。通常，劳动仲裁由当地的劳动争议仲裁委员会负责，而其他类型的纠纷则应根据仲裁协议或法律规定选择相应的仲裁机构。
四、提交仲裁申请
准备仲裁申请书：在申请书中，您需要写明双方的基本信息、仲裁请求、事实和理由。
提交申请材料：将仲裁申请书以及您收集到的所有证据材料一并提交给选定的仲裁委员会，并按照要求缴纳仲裁费用。
五、等待受理与开庭
受理审查：仲裁委员会会对您的申请进行审核，并在一定时间内决定是否受理。
开庭通知：如果受理，仲裁委员会会向双方当事人送达相关法律文书，并告知开庭的时间和地点。在等待期间，您可以继续准备和补充证据。
六、参加庭审并接受仲裁结果
在庭审中，您需要陈述自己的主张和理由，提供证据来支持您的观点，并回应对方可能提出的反驳和质疑。仲裁庭会根据双方提供的证据和法律规定作出裁决。如果您对裁决结果满意，问题即得到解决；如果您不满意，可以根据当地法律规定考虑是否进一步提起诉讼。
七、可能的结果
在无书面合同的情况下申请仲裁，结果会因具体情况而异。如果您能够提供充分的证据证明双方存在实际合同关系以及纠纷事实，并且仲裁协议有效，那么您有可能获得有利的裁决结果。然而，如果证据不足或仲裁协议无效，您可能会面临败诉的风险。
建议：在实际操作前，我建议您咨询当地的法律援助机构或专业律师，以获取更准确的指导和帮助。他们可以根据您的具体情况提供个性化的建议，帮助您更好地准备仲裁申请并增加胜诉的可能性。