被判处拘役一个月的罪犯，在符合特定法定条件的情况下，确实可以申请监外执行。以下是对此问题的详细解析：
一、申请监外执行的法律依据
根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，对于被判处有期徒刑或者拘役的罪犯，在存在以下情形之一时，可以暂予监外执行：
有严重疾病需要保外就医：罪犯必须患有严重疾病，且这一疾病需要保外就医来进行治疗，同时需经省级人民政府指定的医院诊断并开具证明文件。
怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女：对于女性罪犯，如果她处于孕期或哺乳期（一般指从婴儿出生之日起至满一周岁），她有权申请暂予监外执行。
生活不能自理，适用暂予监外执行不致危害社会：如果罪犯因年老体弱、严重残疾等原因导致生活无法自理，并且其监外执行不会对社会造成危害，那么她也可以申请暂予监外执行。
二、申请监外执行的具体条件
针对被判处拘役一个月的罪犯，要申请监外执行，必须满足上述条件之一。具体来说：
严重疾病：需要提供省级人民政府指定的医院出具的证明文件，证实罪犯确实患有严重疾病且需要保外就医。
特殊生理状态：对于怀孕的妇女或正在哺乳自己婴儿的妇女，她们可以依法申请监外执行，无需提供额外的医学证明（但需证明其怀孕或哺乳状态）。
生活不能自理：需要提供相关证据材料，如医疗证明、生活自理能力评估报告等，证明罪犯因身体原因无法独立生活，并且其监外执行不会对社会造成危害。
三、申请监外执行的程序
提出申请：罪犯本人、其法定代理人、近亲属或辩护人可以向执行机关（如看守所）提出书面申请，说明申请理由和依据。如果因严重疾病申请，还需提供省级政府指定医院的诊断证明。
审核与审批：执行机关会对申请材料进行严格审查，核实情况。如果符合条件，执行机关会制作《暂予监外执行审批表》，并连同相关材料报送省级以上监狱管理机关或设区的市一级以上公安机关批准。
执行与交付：一旦批准，会制作《暂予监外执行决定书》，送达执行机关和罪犯居住地社区矫正机构。执行机关将罪犯交付社区矫正机构执行，并通报其在监内改造情况。
监督与管理：社区矫正机构负责监督管理和教育帮助罪犯。罪犯需遵守相关规定，如定期报告活动情况、遵守会客规定等。如果发现不符合监外执行条件、违反监管规定或情形消失但刑期未满，社区矫正机构将及时提出收监建议。
四、注意事项
监外执行并非特权，而是基于人道主义精神和法律原则的特殊处理方式。因此，在申请和执行过程中必须严格遵守相关法律法规和程序要求。
罪犯在监外执行期间应自觉遵守规定，避免违规行为导致收监执行。同时，社区矫正机构也会对罪犯进行严格的监督和管理，确保其不会对社会造成危害。
综上所述，被判处拘役一个月的罪犯在满足特定条件下，可以按照法定程序申请监外执行。整个申请流程需遵循严格的法律规定，确保公正、合法。