被判处拘役一个月的罪犯，若希望申请监外执行，需要满足一定的条件并遵循相应的法定程序。以下是对此问题的详细解答：
一、适用条件
根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，被判处拘役的罪犯，在符合以下任一条件时，可以申请暂予监外执行：
有严重疾病需要保外就医：
- 罪犯必须患有严重疾病，且这种疾病在短期内可能有生命危险，或者属于严重慢性疾病，在监管场所内长期治疗无效，需要到狱外进行治疗。
- 必须提供由省级人民政府指定的医院出具的诊断证明和文件，以证明罪犯确实需要保外就医。
- 对于可能利用保外就医逃避刑罚、有社会危险性，或者自伤自残的罪犯，不得保外就医。
怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女：
- 女性罪犯在孕期或哺乳期（一般指从婴儿出生之日起至满一周岁）内，出于人道主义考虑，可以申请暂予监外执行，以保障胎儿或婴儿的健康成长。
生活不能自理，适用暂予监外执行不致危害社会：
- 罪犯因年老体弱、身体残疾等原因导致生活无法自理，且其监外执行不会对社会造成危害的，可以申请暂予监外执行。
二、申请流程
提出申请：
- 罪犯本人、其法定代理人、近亲属或辩护人可以向执行机关（如看守所）提出书面申请，说明申请理由和依据。
- 若因严重疾病申请，需提供省级政府指定医院的诊断证明和相关病历材料。
审核与审批：
- 执行机关会对申请材料进行严格审查，核实情况的真实性。
- 符合条件的，执行机关会制作《暂予监外执行审批表》，并连同相关材料报送省级以上监狱管理机关或设区的市一级以上公安机关批准。
执行与交付：
- 批准后，会制作《暂予监外执行决定书》，并送达执行机关和罪犯居住地社区矫正机构。
- 执行机关将罪犯交付社区矫正机构执行，并通报其在监内改造情况。
监督与管理：
- 社区矫正机构负责监督管理和教育帮助罪犯，确保其遵守相关规定。
- 罪犯需定期报告活动情况、遵守会客规定等，如发现不符合监外执行条件或违反监管规定，社区矫正机构将及时提出收监建议。
三、注意事项
- 监外执行并非罪犯的特权，而是基于人道主义精神和法律原则的特殊处理方式。
- 在申请和执行过程中，必须严格遵守相关法律法规和程序要求，确保公正、合法。
- 罪犯在监外执行期间应自觉遵守规定，避免违规行为导致收监执行。
综上所述，被判处拘役一个月的罪犯在满足特定条件下，可以按照法定程序申请监外执行。整个申请流程需遵循严格的法律规定，以确保公正、合法。如果您或您的亲友有此类需求，建议咨询当地司法机关或专业律师，以获取更具体、更专业的指导。