结论：在执行过程中被继承人死亡，原判决的责任一般不需要重新起诉，但可能需要根据具体情况进行执行主体的变更或对遗产进行处理。以下从不同角度进行分析：

一、执行主体变更的角度

1. 法律依据：根据《中华人民共和国民事诉讼法》及相关司法解释，在执行过程中，如果被执行人死亡，其遗产继承人没有放弃继承的，人民法院可以裁定变更被执行人，由该继承人在遗产的范围内偿还债务。这意味着，原判决的责任主体虽然发生了变化，但并不需要重新起诉，而是通过执行程序的变更来继续推进。
2. 实际操作：在实际操作中，债权人需要向法院提供被继承人死亡的相关证明以及继承人的身份信息等材料，申请变更被执行人。法院在审查后，如果认为符合变更条件，会裁定变更被执行人，并继续执行原判决。

二、遗产处理的角度

1. 遗产范围：在执行过程中，如果被继承人死亡，其遗产将成为执行的对象。债权人需要了解被继承人的遗产范围，包括房产、存款、车辆等，以便在执行过程中能够准确地对遗产进行查封、扣押或拍卖等措施。
2. 遗产分配：如果被继承人的遗产不足以清偿全部债务，那么遗产的分配将按照法定顺序进行。根据《中华人民共和国民法典》的规定，遗产首先用于清偿被继承人的债务，剩余部分再按照法定继承顺序进行分配。这意味着，债权人有可能无法获得全部债权，但原判决的责任并不因此而消失，而是通过遗产的分配来部分实现。

三、特殊情况的处理

1. 继承人放弃继承：如果被继承人的继承人放弃继承，那么根据法律规定，法院可以裁定终结执行。但这种情况并不常见，因为继承人通常会考虑遗产的价值以及可能承担的债务等因素来做出决定。
2. 无遗产或遗产不足以清偿债务：如果被继承人没有遗产或者遗产不足以清偿全部债务，那么债权人可能无法获得全部债权。在这种情况下，债权人可以考虑通过其他途径来追偿，如向其他共同债务人追偿等。但原判决的责任并不因此而转移或消失，而是由于客观原因无法完全实现。

建议：在遇到执行过程中被继承人死亡的情况时，债权人应及时向法院提供相关证明材料，申请变更被执行人或了解遗产情况。同时，也可以考虑咨询专业律师以获取更具体的法律建议和指导。如果你有具体的法律问题或需要进一步的帮助，请直接向我咨询。