结论：将农村的鸡撞死并逃离现场，是否构成肇事逃逸，需根据具体情况判断，但一般情况下，不构成交通肇事逃逸，但可能涉及民事赔偿责任。以下从不同角度详细分析：

1. 交通肇事逃逸的构成要件：

   • 交通肇事逃逸通常指的是在发生交通事故后，肇事者为了逃避法律追究而逃离现场的行为。其核心要素包括：一是发生了交通事故；二是肇事者明知发生了事故；三是肇事者为了逃避法律追究而逃离现场。
   • 在您描述的情况中，虽然发生了“事故”（即撞死了鸡），但这一“事故”与通常意义上的交通事故（如车辆与车辆、车辆与行人之间的碰撞）在性质上有所不同。它更多涉及的是民事侵权责任，而非交通肇事责任。

2. 民事赔偿责任的考虑：

   • 无论是否构成交通肇事逃逸，撞死农村的鸡都可能涉及民事赔偿责任。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。
   • 在这种情况下，如果您确实撞死了鸡，且无法证明是鸡突然闯入道路等不可抗力因素导致的，那么您可能需要承担赔偿鸡主人损失的责任。

3. 逃离现场的法律后果：

   • 逃离现场本身可能加重您的法律责任。即使不构成交通肇事逃逸，逃离现场也可能被视为逃避责任的行为，从而在民事赔偿中处于不利地位。
   • 此外，如果鸡主人报警，警方可能会介入调查。虽然这种情况下不太可能对您进行刑事处罚，但可能会要求您承担民事赔偿责任，并可能对您进行批评教育或行政处罚（如罚款）。

4. 建议处理方式：

   • 如果您不小心撞死了农村的鸡，建议立即停车查看情况，并尝试与鸡主人取得联系，协商赔偿事宜。
   • 如果无法立即联系到鸡主人，可以留下联系方式和说明情况，以便鸡主人后续联系您。
   • 避免逃离现场，以免加重法律责任和不必要的麻烦。

总结与启示：虽然将农村的鸡撞死并逃离现场一般不构成交通肇事逃逸，但可能涉及民事赔偿责任。建议您在遇到类似情况时，保持冷静，积极与鸡主人沟通协商，并承担相应的法律责任。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。