结论：劳动争议进入诉讼程序后，原则上不能就同一争议再申请仲裁，但如果是与原诉讼争议相关联但独立的新的争议事项，且符合仲裁申请条件，是可以申请仲裁的。
详细分析：
同一争议的不可重复仲裁性：
- 根据劳动争议调解仲裁法的相关规定，劳动争议仲裁是诉讼的前置程序（在特定情况下，如双方约定仲裁或法律明确规定必须仲裁的争议），且一旦仲裁裁决作出并生效，或者当事人对仲裁裁决不服提起诉讼后，该争议即进入司法程序。
- 在诉讼过程中，如果争议事项与仲裁裁决事项相同，法院将对该争议进行全面审查并作出判决，此时再就同一争议申请仲裁，不仅违反了“一事不再理”的原则，也浪费了司法资源。
新争议事项的仲裁可能性：
- 如果在诉讼过程中，出现了与原诉讼争议相关联但独立的新的争议事项，比如原争议是关于工资支付的，而新争议是关于加班费计算的，且这些新争议事项并未在之前的仲裁或诉讼中得到处理，那么当事人是可以就这些新争议事项申请仲裁的。
- 这种情况下，新争议事项被视为一个新的、独立的劳动争议，不受之前仲裁或诉讼程序的影响。
仲裁申请的条件：
- 无论何时申请仲裁，都需要满足仲裁申请的基本条件，包括但不限于：存在明确的仲裁协议或仲裁条款、争议属于仲裁委员会的受理范围、有明确的仲裁请求和事实理由、在法定的仲裁时效期间内提出等。
法律建议：
- 如果您在劳动争议诉讼过程中发现了新的争议事项，且这些事项与原诉讼争议相关联但独立，建议您先评估这些新争议事项是否满足仲裁申请的条件。
- 如果满足条件，您可以考虑就这些新争议事项单独申请仲裁，或者在与对方协商后，通过补充协议的方式将新争议事项纳入原仲裁或诉讼程序中一并处理。
- 在处理劳动争议时，建议您及时咨询专业律师，以确保您的权益得到充分保障。
可能后果：
- 如果您就同一争议重复申请仲裁，可能会被仲裁委员会驳回申请，或者即使受理也可能在后续的司法程序中面临不利后果。
- 如果您就新争议事项申请仲裁且符合条件，仲裁委员会将依法进行审理并作出裁决，该裁决具有法律效力，双方当事人应当履行。