母亲出轨的私生儿女，即非婚生子女，在法律上享有与婚生子女同等的继承权。以下是对此问题的详细分析：

一、非婚生子女的法律地位与继承权

根据我国《民法典》的相关规定，非婚生子女与婚生子女享有同等的权利，任何组织或个人不得对其加以危害或歧视。这一原则性规定明确了非婚生子女在法律上的平等地位，具体到遗产继承方面，非婚生子女同样属于第一顺序的法定继承人，与婚生子女具有平等的继承权利和义务。这意味着，母亲出轨所生的孩子，作为其亲生母亲或父亲的非婚生子女，依法享有对其亲生父母遗产的继承权。

二、亲子关系认定对继承权的影响

1. 确定为亲生子女：若通过科学的亲子鉴定或其他合法有效的方式，能够明确证明该子女与被继承人（如孩子的亲生父亲或母亲）存在亲生血缘关系，则该子女依法享有继承权。这是基于亲子关系的直接证据，也是确定继承权的重要依据。例如，如果通过亲子鉴定确认了孩子与被继承人的亲子关系，那么孩子就有权继承被继承人的遗产。

2. 无法确定亲子关系：在某些复杂情况下，可能因缺乏有效鉴定证据或各方对亲子关系存在争议而无法准确认定。此时，需要根据具体的法律程序和证据规则来判断。若最终无法认定亲子关系，该子女可能无法以法定继承人的身份继承相应遗产，但可通过其他途径（如遗嘱继承、遗赠等）获得财产。例如，如果无法通过亲子鉴定确认亲子关系，且没有其他证据支持，那么孩子可能无法继承被继承人的遗产，但如果被继承人在遗嘱中为孩子保留了继承份额，则孩子可以按照遗嘱的规定继承遗产。

三、遗嘱继承的特殊情况

如果被继承人在生前立下了合法有效的遗嘱，对自己的财产进行了明确的处分，那么遗嘱的内容将优先于法定继承规则执行。在遗嘱继承的情况下：

• 如果遗嘱中明确排除了非婚生子女的继承份额，那么该子女将不能按照遗嘱继承相应的遗产。例如，如果被继承人在遗嘱中明确表示其遗产只由婚生子女继承，那么非婚生子女就无法继承遗产。

• 反之，如果遗嘱中为非婚生子女保留了继承份额，则该子女可以按照遗嘱的规定继承遗产。例如，如果被继承人在遗嘱中为非婚生子女保留了一定的继承份额，那么孩子就可以按照遗嘱的规定继承这部分遗产。

四、实际建议

1. 保留证据：如果非婚生子女希望继承遗产，应尽可能保留与被继承人的亲子关系证据，如出生证明、亲子鉴定报告等。这些证据在遗产继承纠纷中可能起到关键作用。

2. 了解遗嘱情况：如果被继承人生前立有遗嘱，非婚生子女应了解遗嘱的具体内容，以确定自己是否享有继承权。如果遗嘱中排除了非婚生子女的继承份额，非婚生子女可以考虑通过法律途径维护自己的权益。

3. 寻求法律帮助：在遗产继承纠纷中，非婚生子女可能会面临各种法律问题和挑战。因此，建议非婚生子女在必要时寻求专业律师的帮助，以更好地维护自己的合法权益。

综上所述，母亲出轨的私生儿女在法律上享有与婚生子女同等的继承权。但具体继承情况还需根据亲子关系认定、遗嘱情况等因素进行综合分析。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。