结论：母亲的私生女能否继承父亲的财产，取决于该私生女与父亲之间是否存在法律上的亲子关系，以及是否存在其他影响继承权的特殊情况。以下分情况详细说明：

1. 若私生女与父亲存在法律上的亲子关系：

   • 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，非婚生子女（即私生子）享有与婚生子女同等的权利，包括继承父母的遗产。这意味着，如果私生女能够通过法定程序，如亲子鉴定等，证明其与父亲之间的血缘关系，那么她就享有与婚生子女同等的继承权。
   • 在法定继承中，遗产的分配遵循严格的顺序规定。第一顺序继承人包括配偶、子女（无论婚生还是非婚生）、父母。因此，如果私生女被确认为父亲的子女，她将作为第一顺序继承人参与遗产的分配。

2. 若私生女与父亲不存在法律上的亲子关系：

   • 如果私生女无法证明其与父亲之间的血缘关系，或者父亲在生前通过法律手段否认了与私生女的亲子关系，那么私生女将不享有对父亲遗产的继承权。
   • 在这种情况下，私生女的母亲（即母亲的私生女的母亲，若她与孩子父亲没有婚姻关系）通常也不属于法定继承人范围，因此没有法定的继承权。不过，如果存在特殊情况，如遗嘱继承或形成扶养关系等，私生女的母亲可能有机会获得部分遗产。但这种情况较为特殊，且需要具体的法律程序来认定和分配权益。

法律建议：

• 确认亲子关系：如果私生女希望继承父亲的财产，首先需要通过法律手段确认其与父亲之间的亲子关系。这通常可以通过亲子鉴定等方式实现。
• 了解继承顺序和规定：在确认亲子关系后，私生女应了解遗产继承的顺序和规定，以便在遗产分配过程中维护自己的合法权益。
• 考虑遗嘱继承：如果父亲在生前立有遗嘱，并且遗嘱中没有排除私生女的继承权，那么私生女有权按照遗嘱的内容参与遗产的分配。因此，了解遗嘱的内容也是非常重要的。
• 寻求法律帮助：在处理这类复杂的遗产继承问题时，建议私生女及其母亲寻求专业的法律帮助。作为专业律师，我可以提供详细的法律咨询和代理服务，帮助她们维护自己的合法权益。

可能法律后果：

• 如果私生女成功确认了与父亲之间的亲子关系，并且没有其他影响继承权的特殊情况，那么她将享有与婚生子女同等的继承权，可以依法参与遗产的分配。
• 如果私生女无法确认亲子关系或者存在其他影响继承权的特殊情况，那么她可能无法继承父亲的财产。在这种情况下，她可能需要考虑通过其他途径来维护自己的权益，如寻求法律援助或提起诉讼等。

总之，母亲的私生女能否继承父亲的财产取决于多种因素。如果你或你身边的人面临这样的问题，建议直接向我咨询，以便获得更具体和专业的法律建议。