核心前提：双方未办理结婚登记而以夫妻名义共同生活，且育有五六岁的子女。

结论与处理建议：

1. 关于非法同居的法律定性
   我国法律已不再使用“非法同居”概念，未办理结婚登记的同居关系本身不受法律保护，但双方在同居期间形成的财产关系、子女抚养问题仍受法律调整。若双方自愿解除同居关系，无需通过诉讼程序；若因财产分割或子女抚养产生争议，可向法院起诉。

2. 关于子女抚养权的处理
   根据《民法典》第1071条，非婚生子女与婚生子女享有同等权利。双方可通过协商确定抚养权归属；协商不成时，法院会以“子女利益最大化”为原则判决：

   • 2周岁以下子女：原则上归母亲直接抚养，但母亲有严重不利于子女成长的情形（如疾病、虐待等）除外；
     
   • 2-8周岁子女：法院会综合双方经济条件、教育背景、子女生活习惯等因素判决；
     
   • 8周岁以上子女：法院会尊重子女本人意愿。
     建议：无论抚养权归谁，另一方均有探视权，且需支付抚养费（一般为月收入的20%-30%）。

3. 关于同居期间财产分割
   同居期间取得的财产（如房产、存款）原则按“谁出资、谁所有”处理，但若能证明为双方共同劳动、经营所得，可按共同共有分割。
   例外情形：若一方能证明财产为个人婚前财产或继承/受赠所得且明确只归一方所有，则该财产不参与分割。

4. 关于后续法律程序

   • 若双方无争议：可签订《同居关系子女抚养及财产分割协议》，并办理公证以增强效力；
     
   • 若存在争议：需向法院提起“同居关系子女抚养纠纷”或“同居期间财产分割纠纷”之诉，注意需在知道权利受损之日起3年内起诉。

行动建议：

1. 优先与对方协商，明确子女抚养、探视及财产分割方案；
   
2. 协商不成时，及时收集证据（如出资凭证、子女生活记录等）并起诉；
   
3. 若涉及房产等大额财产，建议委托律师调查财产权属，避免遗漏。
   

如有进一步细节需要分析（如财产类型、子女现状等），可直接向我说明，我会结合具体情况为您制定方案。