结论：债务人死亡后，其留下的债务是否由继承人赔偿，取决于继承人是否选择继承遗产以及遗产的实际价值，同时还需考虑债务的性质。具体来说：

1. 继承人继承遗产的情况

   • 一般债务：根据《中华人民共和国民法典》第一千一百六十一条，继承人以所得遗产实际价值为限清偿被继承人依法应当缴纳的税款和债务。这意味着，如果债务人去世时留下了债务，继承人需要在所继承遗产的实际价值范围内对债务进行清偿。例如，若债务人去世后留下50万元的遗产，同时有30万元的债务，继承人只需用这50万元来偿还30万元的债务，超出的部分无需承担法定偿还义务，除非继承人自愿偿还。
   • 夫妻共同债务：如果债务属于夫妻共同债务，依据《中华人民共和国民法典》第一千零六十四条，即使债务人死亡，其配偶仍需对全部债务承担偿还责任，而不受遗产继承的限制。例如，夫妻双方共同签字借款用于家庭经营，一方去世后，另一方需继续偿还全部债务。

2. 继承人放弃继承的情况

   • 如果继承人明确表示放弃对遗产的继承，那么根据法律规定，他将被免除对被继承人生前所负债务的清偿责任。这一放弃应当以书面形式向遗产管理人或其他继承人作出表示，以确保其法律效力。

3. 特殊情况处理

   • 保证人责任：如果被继承人为保证人，且保证责任在保证期间内，债权人有权要求继承人在继承遗产范围内承担保证责任。
   • 多个继承人：若存在多个继承人，他们通常需要按照各自继承遗产的比例来分担债务。
   • 遗嘱指定：如果被继承人的遗嘱中指定了特定的财产用于清偿债务，或者存在其他特殊的约定，这些都需要按照相关的法律规定和约定来处理。
   • 非法债务：对于被继承人生前因个人非法行为所产生的债务（如赌债），这类债务不受法律保护，继承人无需承担清偿责任。

法律建议：

• 在处理债务人死亡后的债务问题时，继承人应首先了解自己的权利和义务，明确是否选择继承遗产。
• 如果选择继承遗产，应仔细评估遗产的实际价值以及债务的性质和金额，以便合理规划债务清偿。
• 如果放弃继承遗产，应确保以书面形式向遗产管理人或其他继承人作出明确表示，以避免不必要的法律纠纷。
• 在处理过程中，如遇到复杂情况或不确定的法律问题，建议及时向我咨询，以便根据具体情况获取更准确的法律意见和帮助。