结论前置：在业主家中发生火灾，导致电梯损坏的情况下，赔偿责任一般应由引发火灾的业主承担。不过，若物业管理公司在火灾发生时存在过错，未采取合理防范措施减少损失，也需根据其过错程度承担相应责任。以下是对此问题的详细分析：
一、业主的责任
法律依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千一百六十五条，行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。在此案例中，引发火灾的业主由于自身原因导致家里着火，进而造成电梯损坏，该业主存在过错行为，且该过错行为与电梯损坏的结果之间存在因果关系，因此需要承担相应的侵权赔偿责任。
赔偿内容：
- 业主通常需要赔偿电梯维修所产生的合理费用，这包括但不限于损坏配件的购置费用、维修人员的工时费、运输费等。
- 如果电梯因损坏而在维修期间无法正常使用，给其他业主或物业管理造成了额外的不便或损失，如因使用备用电梯而增加的能耗费用等，也可能需要由该业主进行赔偿。
二、物业的角色与责任
物业职责：
- 物业负责管理小区的公共设施，包括电梯。在火灾发生时，使用消防设备来扑灭火源是其职责所在。若物业在此过程中没有过错，则不需要为电梯损坏承担赔偿责任。
特殊情况下的责任：
- 如果物业管理公司在火灾发生时，没有及时采取合理的防范措施来减少电梯因火灾或消防用水受损的可能性，例如没有及时关闭电梯电源、未对电梯井口进行有效的防护等，那么物业管理公司存在一定的过错。
- 在这种情况下，物业管理公司也需要根据其过错程度承担相应的责任，赔偿责任将在引发火灾的业主和物业管理公司之间进行合理划分。
三、实际处理中的建议
收集证据：
- 在处理此类纠纷时，首先应收集相关证据，如火灾现场的照片、视频、消防部门的报告、电梯维修的费用清单等，以证明火灾的发生、电梯的损坏情况以及维修费用等。
协商与调解：
- 在收集到足够证据后，可以尝试与引发火灾的业主和物业管理公司进行协商，寻求达成赔偿协议。如果协商不成，可以寻求第三方调解机构的帮助，如社区调解委员会或人民调解委员会等。
法律途径：
- 如果协商和调解均无法解决问题，可以考虑通过法律途径解决纠纷。可以向法院提起诉讼，要求引发火灾的业主和/或物业管理公司承担相应的赔偿责任。
总结与进一步思考：在处理业主家失火导致电梯损坏的纠纷时，应综合考虑各方行为、过错程度及因果关系，以确保公平合理地分配赔偿责任。同时，也建议业主和物业管理公司在日常生活中加强火灾防范意识，定期检查和维护消防设施，以减少类似纠纷的发生。如果你有任何进一步的疑问或需要法律帮助，请随时向我咨询。